【翻訳】A Beginner’s Guide to Poker Combinatorics

ABC2022

2023年3月6日 16:10

ポーカーコンビナトリクスの初心者向けガイド

Combinatorics is a fancy term for evaluating the number of possible “combinations” (combos) of any given hand: the combination of 2 cards of certain ranks and suits. It allows us to answer questions like how many different versions of AK you can hold in a specific spot, what hands make for better bluff-catchers and many more.
コンビナトリクスとは、あるランクとスートの2枚のカードの組み合わせという、任意の手札の可能な「組み合わせ」（コンボ）の数を評価するための空想の用語です。これにより、特定の場所で何種類のAKを持つことができるか、どのような手がブラフキャッチャーとして優れているか、などの質問に答えることができます。

Combo Counting Basics
コンボカウントの基本

The Hand Matrix
There are 1326 possible combinations of starting hands in Texas Hold’Em. They are frequently represented by a grid that is commonly referred to as a hand matrix.
テキサスホールデムでは、1326通りの初手の組み合わせがあります。これらは一般にハンドマトリックスと呼ばれるグリッドで表現されます。

Simply looking at the hand matrix, it would be easy to mistakenly assume that pocket pairs comprise 13/169 of possible hands and suited and offsuit hands each make up 78/169. By looking at the grid and summing the squares that correspond to each hand class we would arrive at the aforementioned answer. However, this relies on all squares being equal to each other. Despite this being the case geometrically, it is not the case combinatorically.
ハンドマトリックスを見ただけでは、ポケットペアが13/169で、スーテッドとオフスーツがそれぞれ78/169だと勘違いしてしまいがちです。この場合、それぞれの手札に対応するマスを合計すると、前述のような答えになります。しかし、この場合、すべてのマスが互いに等しいことが前提になる。幾何学的にはそうであっても、組合せ的にはそうではない。

There are in fact:
実際にあるのは

6 combos of each pocket pair
各ポケットペア6コンボ A♠A♥, A♠A♦, A♠A♣, A♥A♦, A♥A♣, A♦A♣

4 combos of each suited hand
各スーテッドハンド4コンボ
A♠K♠, A♥K♥, A♦K♦, A♣K♣

12 combos of each unpaired, offsuit hand
アンペア、オフスート各12コンボ A♠K♥, A♠K♦, A♠K♣, A♥K♠, A♥K♦, A♥K♣, A♦K♠, A♦K♥, A♦K♣, A♣K♠, A♣K♥, A♣K♦

This leads us to the conclusion that there are 78 pocket pairs (6 combos times 13 squares), 312 suited hands (4 combos times 78 squares) and 936 unpaired, offsuit hands (12 combos times 78 squares).
このことから、ポケットペアは78組（6コンボ×13マス）、スーツ手は312組（4コンボ×78マス）、アンペア、オフスーツ手は936組（12コンボ×78マス）という結論になる。

The Card Matrix

Dead Cards
The above ratios are applicable preflop but falter when in the presence of “dead cards”. Dead cards refer to cards that are known to not be in a player’s hand. The most common example occurs when a flop is dealt. The flop cards are dead as it is impossible for any player to hold them.
上記の比率はプリフロップでは適用できるが、「デッドカード」の存在する場合には失速する。デッドカードとは、プレイヤーの手札にないことが分かっているカードのことを指します。最も一般的な例は、フロップが配られた時に起こります。フロップのカードはどのプレイヤーも持つことができないので、デッドカードである。

The simplest way to count combinations is to multiply the number of unseen cards. Let’s go over some examples to familiarize you:
組み合わせを数える最も簡単な方法は、見ていないカードの数を掛けることです。慣れるために、いくつかの例を見てみましょう。

BTN opens, BB calls, flop is AK2:

How many combinations of AQ does the BTN have?
BTNのAQの組み合わせはいくつですか？

出ていない3つのA×出ていない4つのQ
=12通りのAQコンビネーション

Note that 3/12 of those are AQs, and 9/12 are AQo.
なお、そのうちの3/12がAQs、9/12がAQoです。
Suited: A♦Q♦ A♥Q♥ A♣Q♣A♠Q♠ Offsuit: A♦Q♥ A♦Q♣A♦Q♠ A♥Q♦ A♥Q♣A♥Q♠A♣Q♦ A♣Q♥A♣Q♠ A♠Q♦ A♠Q♣ A♠Q♥

How many combinations of AA does theBTN have?
BTNはAAの組み合わせがいくつあるのですか？

Pocket pairs use a slightly different formula. We start with 6 combos of AA. If the flop comes A♠K♥2♦, the A♠ is no longer in our range. Our combos of AA are reduced from 6 to 3: A♠A♥, A♠A♦, A♠A♣, A♥A♦, A♥A♣, A♦A♣.
ポケットペアは少し違った方式を使います。AAの6コンボからスタートする。フロップでA♠K♥2♦が来れば、A♠はもはや我々のレンジにはない。A♠A♥、A♠A♦、A♠A♣、A♥A♦、A♦A♣の6コンボから3コンボに減少する。

We can calculate the number of available combos of a pocket pair using the following formula:
ポケットペアの使用可能なコンボ数は、次の式で計算できます。

Where a = the number of available cards of the pocket pair’s rank. In this scenario, we would input a = 3 since there are 3 available aces (A♥, A♦ and the A♣). (3 * (3-1))/2 = 3 combinations of AA remaining.
ここで、a = ポケットペアのランクで使用可能なカードの枚数です。このシナリオでは、使用可能なエースが3枚（A♥、A♦、A♣）あるので、a = 3とインプットすることになる。(3 * (3-1))/2 = 残りのAAの組み合わせは3通り。

Another way of saying this is “3 choose 2”.
別の言い方をすれば、「3 choose 2」です。

How many combinations of AKs does the BTN have?
BTNはAKsの組み合わせをいくつ持っているのか？

Suited hands can be counted intuitively and do not require a formula. On A♠K♥2♦, the number of available combos of AKs is reduced from 4 to 2 due to the A♠ and K♥ on board: A♠K♠, A♥K♥, A♦K♦, A♣K♣.
スーツハンドは直感的に数えることができ、計算式は必要ない。A♠K♥2♦の場合、A♠とK♥がボードにあるため、AKの使えるコンボは4から2に減る。A♠K♠, A♥K♥, A♦K♦, A♣K♣.

We can calculate the total number combos of AK using the following formula:
AKの総コンボ数は、以下の式で計算できます。

Where a = the number of available cards of 1 card’s rank and b = the number of available cards of the other card’s rank
ここで、a＝1枚のカードのランクで使用可能な枚数、b＝もう1枚のカードのランクで使用可能な枚数

On A♠K♥2♦, there are 3 available aces (A♥, A♦, A♣) and 3 available kings (K♥, K♦, K♣). We would therefore input a = 3 and b = 3, giving us a result of 9. Knowing that 2 of these combos are suited, we are left with a remainder of 7 combos of AKo.
A♠K♥2♦ではエースが3枚 (A♥, A♦, A♣)、キングが3枚 (K♥, K♦, K♣)である。このうち2枚はスートなので、AKoのコンボは残り7枚となる。

Other Card Removal Examples
その他のカード取り出し例

Dead cards exist when public information makes certain hands impossible to hold. There exist other, more subtle versions of card removal, however. One notable version is blockers. This is when one player uses the private information provided by their hand, or private dead cards if you will, to combinatorically narrow their opponent’s range.
デッドカードとは、公開された情報によって、ある種のハンドが成立しなくなった場合に存在する。しかし、カード除去にはもっと微妙なものも存在する。そのひとつがブロッカーです。これは、あるプレイヤーが自分の手札から得られる非公開の情報、いわば非公開のデッドカードを使って、相手の範囲を組み合わせ的に狭めることです。

SimpleBlocker Example
シンプルなブロッカー例

Blockers are a vital part of poker strategy that can make or break close decisions. By eliminating specific combos from players’ ranges, you can shift their action frequencies and value to bluff ratios.
ブロッカーはポーカー戦略の重要な部分で、接近戦の判定を左右することがあります。特定のコンボをプレイヤーの範囲から排除することで、プレイヤーのアクション頻度やブラフに対する価値を変化させることができます。

Let’s examine a simple example where we can make use of this effect:
この効果を利用した簡単な例を見てみましょう。

[6Max Cash, 500NL, 100BB]
BTN opens to 2.5BB and BB defends. BB check-calls a 33% flop c-bet, a 125% turn c-bet and faces an 85% river c-bet on J♠5♥2♠K♦8♠. Which of the following hands can profitably call?
BTN が 2.5BB にオープンし、BB がディフェンス。BB は 33% のフロップ C ベット、125% のターン C ベットをチェックコールし、85% のリバー C ベットを J♠5♥2♠K♦8♠ で受けているところです。次のどの手が有益なコールとなりますか？

1. K♠9♥
2. K♥9♠
3. K♣T♣
4. A♥5♦
Answer
1. K♠9♥

BB needs at least 31.5% equity to profitably call (calculate your pot odds). By “blocking” value hands, K♠9♥ has more equity against BTN’s range than the other answers and can make this call. BTN value bets two pair and better on this river and bluffs ace high and worse so all the listed hands are bluffcatchers. The ratio of value and bluffs in our opponent’s range changes depending on the cards we hold!
BBが利益を得てコールするには少なくとも31.5%のエクイティが必要である（ポットオッズを計算する）。バリューハンドを「ブロック」することで、K♠9♥は他の答えよりもBTNのレンジに対してより多くのエクイティを持ち、このコールをすることができるのだ。BTNはこのリバーでツーペア以上をバリューベットし、エースハイ以上をブラフするので、リストアップされた手はすべてブラフキャッチャーである。相手のレンジにおけるバリューとブラフの比率は、こちらの持つカードによって変化するのです

BB only has more than 31.5% equity vs BTN’s range when holding K♠9♥, making it the only profitable (+EV) call.
K♠9♥を持ったときのBBのエクイティはBTNのレンジに対して31.5%以上しかなく、唯一の有益なコール（+EV）である。

Strategic vs Actual Frequencies
戦略的な頻度と実際の頻度

Despite blockers changing range action frequencies, solvers (including GTO Wizard) do not display the impact of this effect in their strategic frequencies. This leaves a discrepancy between strategic and actual frequencies. This is clearly demonstrated on flush boards:
ブロッカーはレンジアクションの周波数を変化させますが、ソルバー（GTO Wizardを含む）はこの効果の影響を戦略的周波数に表示しないのです。このため、戦略的な頻度と実際の頻度との間に乖離がある。このことは、フラッシュボードで明確に示されている。

[6Max Cash, 500NL, 200BB]
HJ opens to 2.5BB and BB defends. BB check-calls a 130% c-bet, the turn checks through and BB check-shoves (for 407%) vs a 61% river bet on a board of Q♠J♠4♥7♦2♠.
HJが2.5BBにオープンし、BBはディフェンス。BBは130%のCベットをチェックコール、ターンはチェックスルー、BBはチェックショット（407%）対 Q♠J♠4♥7♦2♠ のボードで61%のリバーベット。

Despite the strategic frequency window declaring that HJ calls 19.8% of the time (1.07 combos out of a total 5.51 combos), they only call 13.8% in reality (0.52 combos out of a total of 3.78 combos).
戦略的頻度ウィンドウでは、HJは19.8%（全5.51コンボのうち1.07コンボ）をコールすると宣言しているにもかかわらず、実際には13.8%（全3.78コンボのうち0.52コンボ）しかコールしないのです。

The 19.8% frequency includes “ghost” combos: ones that cannot exist due to our opponent’s blockers.
19.8％の中には、相手のブロッカーによって成立しない「ゴースト」コンボも含まれています。

BB only shoves hands that contain the A♠, however, HJ’s 19.8% calling frequency includes many A♠ hands. Once removed, the calling frequency becomes 13.8%.
BBはA♠を含むハンドしかショッブしないが、HJの19.8%のコール頻度にはA♠のハンドが多く含まれている。これを取り除くと、コール頻度は13.8%になる。

This doesn’t mean the strategy is incorrect. The expected value calculations account for this effect. It’s just a matter of interpreting and displaying data. Do we want to examine the strategic frequency or the actual frequency? Some solvers have a switch that allows you to alternate between both views.
これは、戦略が正しくないことを意味するものではありません。期待値の計算では、この効果を考慮しています。データの解釈と表示の問題に過ぎないのです。戦略的頻度を調べるか、実際の頻度を調べるか。ソルバーによっては、両方の表示を交互に切り替えられるスイッチがあります。

Card Bunching
The final card removal effect we will examine is card bunching. Players tend to fold low cards more often than high cards preflop. So when many players have folded, the remaining players and deck are skewed towards high cards.
最後のカード除去効果として、カードバンチングを検討します。プレイヤーはプリフロップでハイカードよりもローカードを多くフォールドする傾向がある。そのため、多くのプレイヤーがフォールドした場合、残りのプレイヤーとデッキはハイカードに偏ることになります。

At a 3-handed table, BTN acts first, and every combo in their range is equally likely. This is not the case at a 6-handed table when several players have already folded. This card removal affects the ranges and strategy of all players to act, frequencies, and runout probabilities.
3人テーブルではBTNが最初にアクションを起こし、その範囲内のすべてのコンボが等しく可能である。しかし、6人プレイのテーブルでは、数人のプレイヤーがすでにフォールドしているため、このようなことは起こりません。このカードの除去は、すべてのプレイヤーの行動範囲と戦略、頻度、ランアウトの確率に影響を与える。

This means that BTN is more likely to hold higher cards when it has folded to them. This can change the BTN’s actual opening frequency even if they don’t change their strategic opening frequency.
つまり、BTNは自分たちにフォールドされたときに、より高いカードを持っている可能性が高いのです。これは、戦略的なオープン頻度を変えなくても、BTNの実際のオープン頻度を変えることができる。

Let’s visualize this effect. The following animation displays the density of cards from 2 through Ace in the deck after several players fold. Remember that they’re more likely to fold low cards, so the remaining cards in the deck (and players ranges who are yet to act) are more top-heavy.
この効果を視覚化してみましょう。次のアニメーションは、数人のプレイヤーがフォールドした後のデッキにある2からAまでのカードの密度を表示しています。ローカードをフォールドする可能性が高いので、山札の残りのカード（とまだアクションしていないプレイヤーの範囲）はよりトップヘビーになることを覚えておいてください。

Generally speaking the card removal due to bunching is not very significant, although it depends on the spot. As this is a beginner article, we’ll not cover this effect in great detail. Check out this article by HRC if you’d like to learn more about the bunching effect.
一般に、バンチングによるカード除去は、その場にもよりますが、あまり大きなものではありません。今回は初心者のための記事なので、この効果についてはあまり詳しく説明しません。バンチング効果についてもっと知りたい方は、HRCのこちらの記事をご覧ください。

Conclusion
結論

There are 1326 possible combinations of starting hands in Texas Hold’Em made up of 78 pocket pairs, 312 suited hands and 936 unpaired, offsuit hands. Some of these combos can be blocked by the board or players’ hands and ranges, further decreasing the number of available combos. This should be accounted for and optimized for when forming a strategy.
テキサスホールデムでは、78のポケットペア、312のスーツハンド、936のアンペア、オフスーツハンドからなる1326通りのスタートハンドの組み合わせがあります。これらの組み合わせの中には、ボードやプレイヤーの手札やレンジによってブロックされるものもあり、利用可能な組み合わせの数はさらに少なくなります。戦略を立てる際には、このことを考慮し、最適化する必要があります。

There are 3 key card removal effects: dead cards, blockers and card bunching; each with their own unique properties.
カード除去の効果には、デッドカード、ブロッカー、カードバンチングの3つがあり、それぞれ固有の性質を持っています。

Try this combinatorics poker puzzle if you feel like challenging your skills!
このコンビナトリーポーカーパズルに挑戦してみませんか？

If there’s one thing you take away from this article, it’s to think about your hands a little less linearly and more in relation to the range you are facing and how this dictates your use of blockers. Good luck at the tables!
この記事から得られるものがあるとすれば、自分の手札を直線的に考えるのではなく、直面している範囲とブロッカーの使い方に関連して考えるということです。幸運を祈ります。

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