2022年 奈良女子大学 前期 工 大問5

2つの三角形$${ABC,DEF}$$において, $${\angle{ACB}=\angle{DFE}=90°}$$であり,
$${\angle{BAC}}$$は$${\angle{EDF}}$$の2倍に等しいとする.
さらに, 三角形$${ABC}$$の面積と三角形$${DEF}$$の面積は等しいとする.
$${x=AB,y=AC,a=DE,b=DF}$$とおく. 以下の問いに答えよ.
(1) $${a}$$を$${x}$$と$${y}$$を用いて表せ. また, $${b}$$を$${x}$$と$${y}$$を用いて表せ.
(2) $${a=5\sqrt{14},b=4\sqrt{14}}$$のとき, $${x}$$と$${y}$$の値を求めよ.

解答
(1)
$${\angle{EDF}=\theta}$$とおく. このとき条件より$${\angle{BAC}=2\theta}$$である.
$${\theta,2\theta}$$はともに直角三角形の直角でない内角の1つであるから, ともに鋭角である.
$${\triangle{ABC}}$$の面積は$${xy\sin{2\theta}, \triangle{DEF}}$$の面積は$${ab \sin{\theta}}$$であり, これらが等しいことから
$${xy\sin{2\theta}=ab\sin{\theta}}$$
$${\Leftrightarrow 2xy\sin{\theta}\cos{\theta}=ab\sin{\theta}}$$
これは$${\theta}$$が鋭角, すなわち$${\sin{\theta}\not=0}$$より
$${2xy\cos{\theta}=ab}$$とできて, $${\cos{theta}=\frac{b}{a}}$$だから
$${2xy=a^2}$$である.
ここで$${a,x,y}$$は全て正だから$${a=\sqrt{2xy}}$$である.
これを用いると, $${\cos{\theta}=\frac{b}{\sqrt{2xy}}}$$より
$${\cos{2\theta}=\frac{b^2}{xy}-1}$$がいえる.
一方, $${\triangle{ABC}}$$について考えると$${\cos{2\theta}=\frac{y}{x}}$$だから
$${\frac{b^2}{xy}-1=\frac{y}{x}}$$となる.
これを整理して$${b^2=xy(\frac{y}{x}+1)=y(x+y)}$$が得られ, $${b,x,y}$$が全て正なので
$${b=\sqrt{y(x+y)}}$$である.

(2)
(1)より$${\sqrt{2xy}=5\sqrt{14}, \sqrt{y(x+y)}=4\sqrt{14}}$$である.
いま各辺の値は全て正だから
$${2xy=25\times{14},y(x+y)=16\times{14}}$$となる.
$${xy=25\times{7}}$$より$${y(x+y)=xy+y^2=25\times{7}+y^2}$$だから
$${y^2=16\times{14}-25\times{7}=(32-25)\times{7}=7^2}$$
$${\therefore y=7, x=25}$$
以上より, $${(x,y)=(25,7)}$$