2022年 奈良女子大学 前期 工 大問6

$${f(x)=|x^2-1|+2x}$$とする. 以下の問いに答えよ.
(1) 関数$${y=f(x)}$$のグラフをかけ.
(2) 曲線$${y=f(x)}$$と$${x}$$軸で囲まれる部分の面積を求めよ.

解答
(1)
・$${x^2-1\ge{0}}$$, すなわち$${x\le{-1},1\le{x}}$$のとき
$${f(x)=x^2-1+2x=(x+1)^2-2}$$
これは頂点$${(-1,-2)}$$の下に凸な放物線である.
・$${x^2-1\lt{0}}$$, すなわち$${-1\lt{x}\lt{1}}$$のとき
$${f(x)=-(x^2-1)+2x=-x^2+2x+1=-(x-1)^2+2}$$
これは頂点$${(1,2)}$$の上に凸な放物線である.
以上より, この関数のグラフは下図の太実線の部分である.

(2)
$${x^2+2x+1}$$と$${x}$$軸の交点で, $${x\le{-1},1\le{x}}$$を満たすものを考える.
この範囲で$${x^2+2x+1=0}$$を解いて, $${x=-1-\sqrt{2}}$$である.
$${-x^2+2x+1}$$$と$${x}$$軸の交点で, $${-1\lt{x}\lt{1}}$$を満たすものを考える.
この範囲で$${-x^2+2x+1=0}$$を解いて, $${x=1-\sqrt{2}}$$である.
よって, 求める面積を$${S}$$とすると,
$${S=-\int_{-1-\sqrt{2}}^{-1}\lbrace{(x+1)^2-2}\rbrace{dx}-\int_{-1}^{1-\sqrt{2}}\lbrace{-(x-1)^2+2}\rbrace{dx}}$$
$${=\int_{-1}^{-1-\sqrt{2}}\lbrace{(x+1)^2-2}\rbrace{dx}+\int_{-1}^{1-\sqrt{2}}\lbrace{(x-1)^2-2}\rbrace{dx}}$$
$${=\Big[{\frac{(x+1)^3}{3}-2x}\Big]_{-1}^{-1-\sqrt{2}}+\Big[{\frac{(x-1)^3}{3}-2x}\Big]_{-1}^{1-\sqrt{2}}}$$
$${=-\frac{2\sqrt{2}}{3}+2(1+\sqrt{2})-2-\frac{2\sqrt{2}}{3}-2(1-\sqrt{2})+\frac{8}{3}-2}$$
$${=-\frac{4\sqrt{2}}{3}+4\sqrt{2}+\frac{8}{3}-4}$$
$${=\dfrac{8\sqrt{2}-4}{3}}$$