【フィボナッチ素数】フィボナッチ数列から素数を見つけよう

フィボナッチ数列とは、前の2つの項の和が次の項の値になる数列のことです。

(「項」とは数列に登場する一つ一つの値のこと)

と、言葉だけだとわかりづらいので具体例。

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

0, 1の次は、0+1=1
1, 1の次は、1+1=2
1, 2の次は、1+2=3
2, 3の次は、2+3=5
3, 5の次は、3+5=8
︙

となっています。フィボナッチ数列は「F_n」という記号を使って表されることが多いです(トップ画像を参照)。

偶奇性に着目してみましょう。偶数を「偶」、奇数を「奇」と書くことにすると、フィボナッチ数列は

偶　奇　奇　偶　奇　奇　偶　奇　奇　…

と規則的になっています。1/3が偶数、2/3が奇数になっているのです。つまり、奇数の方が多い。

奇数が多いということは、素数もたくさん出てきやすいのではないか…？

ということで、今回はフィボナッチ数列に登場する素数である「フィボナッチ素数」を紹介します。

小さい順に挙げていくと、以下のとおりです。

2
3
5
13
89
233
1597
︙

3連続で素数になるのは、2, 3, 5だけです。なぜなら、それ以降は3つに1つが偶数であり、素数ではないからです。

フィボナッチ素数が無限に存在するかどうかはわかっていません。大きな数になると素数判定が難しく、現時点で知られる一番大きなフィボナッチ素数は17103桁だそうです(Wikipediaより。以下に参照リンクを載せます)。

さて、F_nが素数になるようなnを小さい順に挙げていくと、以下のようになるようです。Wikipediaに記載のものを引用いたします。

3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 89, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, ...

フィボナッチ素数 - Wikipedia

なんと、4以外は素数になっています。つまり、

フィボナッチ素数のほとんどが、フィボナッチ数列の素数番目の値になっている

のです。逆が成り立つとは限りませんが、この事実はなかなか面白いなと思いますね。

上でも書いたように、フィボナッチ数列は

偶　奇　奇　偶　奇　奇　偶　奇　奇　…

と続いていきます。最初の0は0番目に対応しているので、F_nで奇数になるようなnは以下のように並んでいるのです。

1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, ...

当然、偶数も含まれています。しかし、フィボナッチ素数になるようなnは素数の場合がほとんど。これがなかなか不思議ですね。

ちなみに、双子素数というものがありましたが、

フィボナッチ素数でかつ双子素数にもなる数は、3, 5, 13しかないそうです。これは証明されています。

と、こんな感じで書いてみましたが、フィボナッチ素数に関してはわかっていないことが多いです。

また、フィボナッチ数列自体も面白い数列ですね。日頃この数列を目にすることはないと思いますが、気が向いたらたしざんをして数列の項たちを求めてみてください。

素数はいつも、あなたのそばに。
Let's enjoy SOSU !

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。