統計検定準1級 2021年解説 問2-2（最尤推定量）

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【問題要約】

ある機械が故障するまでの時間Xは平均λの指数分布に従う。この時、λ = 1/a と仮定した時の分散はa^2である。分散の最尤推定量を求めよ。
なお、必要に応じて指数分布の確率密度関数を参照してもよい。

指数分布の確率密度関数

【回答】

【解説】

本問では最尤推定量に対する理解と計算能力が問われています。

必須知識

最尤推定量とは、尤度関数を微分した式の結果がゼロ（最大値）となる方程式を解くことで求まる推定量を指します。

また、尤度関数とはn個の確率関数から求まる関数になります。

計算

本問では、n台の機械が故障するまでの時間が、それぞれ独立に指数分布に従うと仮定する為、尤度関数は以下の通りとなります。

尤度関数（平均1/aの指数分布）

対数尤度関数（平均1/aの指数分布）

上で求めた対数尤度関数を微分して、答えがゼロとなる方程式を解く必要がある為、以下の手順で計算を進めます。

期待値の最尤推定量

平均1/aの指数分布の期待値E[X]はa, 分散V[X]はa^2になります。
その為、求めた期待値の最尤推定量の2乗が分散の最尤推定量になります。