統計検定準1級 2021年解説（問2-1）

問題本文

問題本文は公式サイト又は公式問題集を参照してください。

【問題要約】

ある機械が故障するまでの時間Xは平均λの指数分布に従う。
この際、λ = 1/a と仮定した時、指数分布の分散V[X]をaを用いて表しなさい。なお、必要に応じて指数分布の確率密度関数を参照してもよい。

指数分布の確率密度関数（2行目: λ = 1/a）

【回答】

※ 同記号による混乱を避ける為、公式問題とは異なる記号を使用しています（λ ⇨ a）

【解説】

本問では確率密度関数から分散を求める能力が問われています。
また、提示された指数分布は変則型であるため、指数分布の分散 = 1/(λ^2)と早とちりして回答してしまわないよう注意する必要があります。

必須知識

本問を解く為には、期待値・分散を求める公式及び部分積分の公式を理解している必要があります。それぞれ以下の通りです。

期待値を求める公式

分散を求める公式

部分積分の公式

計算

以上の公式を用いて、まずはE[X]を求めましょう。

期待値E[X]を求める公式

部分積分に当てはめる各関数の値

期待値E[X]の計算

以上の計算結果から E[X] = a であることが分かりました。
同様に計算すると、E[X^2] = 2a^2であることが分かります（計算省略）

以上の内容から、分散の値を求めましょう。

分散の計算

ここから、λ = 1/a の時、
指数分布の分散は a^2 であることが分かります。