PieceCHECK(2024-17) 条件下における式の最大値
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。KATSUYAです。
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1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。
単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！
今回の問題
YouTube動画をUPしました。今回は東京理科大から、条件下における式の最大値を求める問題です。
思考時間は約10分、目標解答時間はそこから約15分です。
解説・原則など
今回は数Ⅲを使わない方法として全部で3通り紹介しました。
解１は三角関数を用いる方法です。今回の条件式は$${( )^2+( )^2=}$$定数のような形に出来るので、2乗の部分をそれぞれ$${\cos \theta ,\sin \theta }$$とおきます。カッコ内が単純な式でなくても、この方法が使えますので、ぜひおさえておきましょう。
条件式が円なら$${\bm{\theta }}$$を媒介変数に
(1)(2)ともにこれで解決です。(1)は1次式なのでそのまま合成、(2)は2次のみなので$${2\theta }$$にして合成です。こちらも原則ですね。
2次の項だけなら$${\bm{2\theta }}$$にそろえて合成
解２は実数解条件でアプローチする方法です。こちらの原則を身につけていれば、一番簡単に思いつきやすい解法だと思います。
2次の条件式から1次式の最大・最小 → $${\bm{=k}}$$とおいて実数解条件に
(1)は思いつきやすいですが、この原則の根本は$${y=\cdots }$$などに直したときに複雑にならないかどうかです。(↑上の拙著シリーズには、そこまでちゃんと言葉で書いてますよ＾＾)
従って、(2)のように$${xy}$$であれば、これも$${=m}$$とおけば簡単に$${x=\cdots }$$に変形できるので、同じ原則が適用できます。
あとは両方正なので、正の2実数解を持つ条件として求めていきます。
解の存在範囲はD、軸、端点(の符号)に着目せよ
解２－２は見たことある人は少ないのではないでしょうか。しかし$${x=\cdots }$$に出来ないような場合にも使えて、汎用性が高いです。
定数をあえて消去し、同次式を作る方法です。同次式が作れると1文字減らせることがポイント。
同次式は比で置き換えて1文字減らせる
比も正ですから、正の解を持つ条件下での$${m}$$の最大値と、その時の解と合わせて、もとの$${x,y}$$が出せます。
１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。
関連する拙著『Principle Piece』シリーズ
Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。
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解答
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