PieceCHECK(2024-16) 絶対値付き放物線と面積

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。KATSUYAです。

【最新巻】『数学A～図形の性質～』『数学B・C～統計的な推測～』販売開始！！

上の最新巻２冊は、GWぐらいまで割引販売中です！！

1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。

単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！

今回の問題

YouTube動画をUPしました。今回はほぼオリジナル問題。三角形の辺の長さを求める問題です。中学数学の知識だけでも解けます。

思考時間は約5分、目標解答時間はそこから約10分です。

解説・原則など

こういう設定が極めてシンプルな問題の方がいろんな解法があったりして、学べることが多いこともしばしば。本問はその典型例。
全部で4通りの解法を紹介しました。

解１、解２は中学数学でも解ける方法です。解１は相似を用います。途中で角の二等分線を使う方法もあります。
※角の二等分線は高校の範囲ですが、難関高ではほぼ必須というのが現状。

解２は二等辺三角形が2つできるように補助線を引いて三平方の定理を用います。ただし、2倍の角の方が鋭角か鈍角かで途中の式は変わる(結果は同じ)ので、記述では別々で書く必要があります。
「同様に」で片づけられるほど途中式は同じではありません。

いずれも補助線が必要となります。少し発想寄りですが、ある角度の２倍の角度があるという場合には比較的よく引く補助線です。

解３，４は高校数学の三角比、三角関数を用います。
解３は第１余弦定理を用いた方法。(皆さんがよく覚えている公式は第２余弦定理)

第1余弦定理がもろに使える形をしているので、あとは$${\cos \theta }$$を辺の長さに変えます。対辺・対角が分かっている構図ですから、正弦定理ですね。

対辺・対角がともに分かっている場合は正弦

使い分けのすべての詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅰ～三角比～』p.33

$${\displaystyle \frac{b}{\sin 2\theta }=\displaystyle \frac{c}{\sin \theta }}$$と倍角の公式で、$${\cos \theta }$$を$${b,c}$$で表せます。

解４は正弦定理でごり押す方法。第1余弦定理が使えるなら、2角が分かっているので、残りの角も表せます。なので、正弦定理の式をがっつり利用する方法もあります。

$${R、\sin \theta }$$を消去することを意識して、BCの式$${a}$$を$${b,c}$$だけにしていきましょう。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。

大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。

principle powered by BASE

解答

※ここより先には内容はございません。本記事に価値を感じていただけた方は、ポチっとしていただけると大変うれしいです。(もちろん、任意です)