直交座標系シャワー と 極座標系シャワー

直交座標系シャワー と 極座標系シャワー

　2018年春、ベトナムを旅行中に、シャワーには２種類あることに気がつきました。ベトナムのシャワーは「直交座標系」で、ウチのシャワーは「極座標系」。
　直交座標系のシャワーは、温度と流量を調整するのに手間がかかる。熱すぎては困るので、まず水の方から回す。そうすると「ぬるっ → あつっ → チョロチョロ → ぬるっ → ドバーッ → あつっ → …」となりがちで、一旦シャワーを止めると、また一からやり直し。
　一方、極座標系のシャワーは、まず温度を決めて、次に流量を決めれば良いので、素早くピタッと快適な温度・流量になります。

　シャワーは極座標系に限る。

ボールを遠くに投げるための角度

【問】変数 t が正の値をとって変わるとき、 
　　　点 P（a cosθ・t ，  a sinθ・t－b t² ）について考える。
　　　ただし、a と θ は定数で、a＞0 ，b＞0 ，0°＜θ＜90° である。
　(1)　点 P の軌跡を求めよ。
　(2)　点 P の y 座標が 0 になるときの点 P の x 座標を求めよ。
　(3)　(2) の x 座標の値が最大になるのは、定数 θ がいくつのときか。

《 答え 》
(1)　x＝ a cosθ・t …① ， y＝a sinθ・t－b t²  …②　とおく。
　　①より　t＝x／a cosθ
　　これを②に代入して　y＝x tanθ－b x² ／a² cos² θ（x＞0）
　　　　　　　　　　　　　　　　　└→ 放物線軌道を描く
(2)　y＝a sinθ・t－b t² ＝t（a sinθ－b t）＝0　より　t＝a／b sinθ（∵t＞0）
　　 このとき　x＝ａcosθ・t＝ a²／b sinθcosθ＝ a²／b sin2θ／2
(3)　(2)より x が最大になるのは 2θ＝90° ⇔ θ＝45°のとき。

　以上から、ボールを遠くに投げるには仰角45°の角度で投げれば良いことがわかる。つまり、初速 a ，重力加速度 b に影響されない。とはいえ、現実には空気の影響（空気抵抗）は受ける。

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〜 授業の数学 〜　
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