忘れっぽい数学。関数のメモ

okazu

2020年12月12日 14:53

忘れっぽくて何度も調べなおして思い出す際にインターネットや本から検索するのがめんどくさいので、ここにあらかじめまとめておく。

関数について。

ここでは厳密な数学上の定義を示しているわけではない。

[用語]＊＊関数（写像）

・陽関数

y = f(x)の形で表されるもの

・陰関数

陽関数で表されないもの。

円、放物線とか

・偶関数

f(x) = f(-x)

y軸に関して対称なグラフになる

・奇関数

f(-x) = -f(x)

原点に関して対称なグラフになる

原点に対して点対称な関数。

f(x) = -f(-x)

・逆関数

・有理整関数

・有理関数

・整関数

多項式(polinomial)とも呼ばれる。

・写像

・像

カーネル

・恒等写像

・単射

・全射

・全単射

・合成写像

[用語] 三角関数

・三角関数

複素数を使った実三角関数の表現
複素三角関数とはまた別の話。

・テイラー展開(マクローリン展開)をしたときに表せれる表現

・逆三角関数

三角関数の逆関数。
1対1対応になっていないと、逆関数として定義できないため定義域を決める。

・arcsin アークサイン / y = sin^-1(x)
y = sin(x)の定義域を以下のように決める
(-π/2 <= x <= π/2) => (-1 <= y <= 1)
そして逆関数を考える
y = sin^-1(x)
(-1 <= x <= 1) => (-π/2 <= y <= π/2)

arccos アークコサイン / y = cos^-1(x)

アークコサインはyの値域が正の数となる。

arctan アークタンジェント / y = tan^-1(x)

・三角関数の逆数

cosec x コセカント = 1/sinx

sec x セカント = 1/cosx

cot x コタンジェント = 1/tanx

・複素三角関数
zは複素数

加法定理

二倍角の公式

半角の公式

三倍角の公式

積和の公式

[用語] 双曲線関数

実双曲線関数は実三角関数と形式的には似ているけど、周期性を持たない全く異なる関数.
だが、三角関数と似たような特徴はたくさんある。

coshx(ハイパボリックコサインx)

sinhx(ハイパボリックサインx)

tanhx(ハイパボリックタンジェントx)

・双曲線関数

・双曲線関数の逆関数

・複素双曲線関数の(テイラー展開)マクローリン展開

[用語] 指数関数

・複素指数関数

[用語] べき(冪)関数

・複素冪函数

[用語] 対数関数

・複素対数関数

特殊な関数・曲線

アステロイド曲線

放物線

サイクロイド曲線

らせん

三葉線

四葉線

カージオイド

・ガンマ関数

・ベータ関数

・デルタδ関数

パルスみたいな、縦長い関数

・ゼータ関数

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