三角関数の関係式

$${x}$$ - $${y}$$直交座標平面上で3点O$${(0, 0)}$$、A$${(\cos \theta, 0)}$$、P$${(\cos \theta, \sin \theta)}$$を取る。

$${\theta \neq \frac{\pi n}{2}}$$($${n}$$は整数)のとき$${\angle OAP}$$が直角なので、$${\triangle OAP}$$について三平方の定理が成り立つ。

$${OP^2 = OA^2 + AP ^ 2}$$
$${1 ^ 2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta}$$
整えると、$${ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1}$$

この式は$${\theta =\frac{\pi n}{2}}$$($${n}$$は整数)のときも成り立つ。

以下、零除算はないものとする。

$${ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1}$$の両辺を$${\cos^2 \theta}$$で割ると
$${ \tan^2 \theta + 1= \frac{1}{\cos^2 \theta}}$$

$${ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1}$$の両辺を$${\sin^2 \theta}$$で割ると
$${ 1 + \frac{1}{\tan^2 \theta}= \frac{1}{\sin^2 \theta}}$$

まとめると
$${ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1}$$
$${ \tan^2 \theta + 1= \frac{1}{\cos^2 \theta}}$$
$${ 1 + \frac{1}{\tan^2 \theta}= \frac{1}{\sin^2 \theta}}$$