部分積分

媒介変数$${t}$$で表された曲線$${(x, y) = (f(t), g(t))}$$に関して、下画像にある斜線部分の面積を2通りで表す。

一方は、大きな長方形の面積$${f(b)g(b)}$$から小さな長方形の面積$${f(a)g(a)}$$を除いたものとして表される。
$${f(b)g(b) - f(a)g(a)}$$

もう一方は、曲線$${(x, y) = (f(t), g(t))}$$と3直線$${x=f(a), x=f(b), y=0}$$で囲まれた面積$${\int_a^bg(t)f'(t)dt}$$と、曲線$${(x, y) = (f(t), g(t))}$$と3直線$${y=g(a), y=g(b), x=0}$$で囲まれた面積$${\int_a^bf(t)g'(t)dt}$$の和として表される。
$${\int_a^b g(t)f'(t)dt + \int_a^b f(t)g'(t)dt}$$

したがって、$${f(b)g(b) - f(a)g(a)= \int_a^bg(t)f'(t)dt + \int_a^bf(t)g'(t)dt}$$
整理すると、$${[f(t)g(t)]_a^b= \int_a^bf(t)g'(t)dt + \int_a^bf'(t)g(t)dt}$$

ここから、実用的な形にしていく。

積分区間を取り去り、不定積分の形に直すと
$${f(t)g(t)= \int f(t)g'(t)dt + \int f'(t)g(t)dt}$$

変数を$${x}$$に替えると
$${f(x)g(x)= \int f(x)g'(x)dt + \int f'(x)g(x)dx}$$

$${ \int f(x)g'(x)dt}$$を左辺に、その他の項を右辺に寄せると
$${ \int f(x)g'(x)dt = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx}$$

$${g'(x)}$$を$${g(x)}$$に置き換えて、$${g(x)}$$の原始関数を$${G(x)}$$とすると
$${ \int f(x)g(x)dt = f(x)G(x) - \int f'(x)G(x)dx}$$

この公式を使うことで、2つの関数$${f(x), g(x)}$$の積$${f(x)g(x)}$$を積分できることがある。

例えば、
$${ \int x\cos xdx}$$
$${= x(\sin x) - \int 1 \cdot \sin x dx}$$
$${= x\sin x - \int\sin x dx}$$
$${= x\sin x + \cos x + C}$$($${C}$$は積分定数)