SOの金融工学的価値

24.02.26 個人のNotionにから少し修正してアップロード
なんでNoteはTeX文法を支援しないんだろう。理系への配慮が足りない。

企業のファイナンス（磯崎哲也）を読みながらもっと詳しく勉強してみた。
いろんな資料をまとめて自分的が理解したものを書いたのでもし間違った情報があればお教えください。

SOの金融工学的価値

5万円の株式を5万円で購入することができるストックオプションは無価値なのか？
→そうではない。気持ち的にはそうではないことが分かるが、なぜか。

とてもわかりやすく言うとこれから株価が上がる確率があり、その確率によって期待値が実際の行使価格より上がるためである。
企業のファイナンスの本よりわかりやすく説明したと思う！！

企業のファイナンス　P200から

• 公正価格（Fair Value）

ストックオプションの価値

• 時間的価値（Time Value）

• 本源的価値（Intrinsic Value）

時価20万円の株価が5万円で買えるとしたら、そのストックオプションに少なくとも15万円（本源的）価値がある。
このようにストックオプションの価値は本源的価値に時間的価値が追加で評価される。
その理由をこの式で説明可能である。

ブラック＝ジョールズ式（BS式）

EN：Black–Scholes equation
KR：블랙 숄즈 편미분
難しい内容だが、理解しやすい説明があって、それをまず説明した後数式を書いた。SOを勉強するときにここまでやらなきゃいけないのかは一度思ったが、興味が湧いたので書いてみた。

概要

Black Scholes Partial Differential Equationとはとある任意のEuropean StyleのDerivativesの値段を任意のt時点で求めるための偏微分方程式を意味する。
ここでいうEuropean Styleとは行使が必ず満期のみ起こりうるDerivativesを意味しますので、オプションだけでなく、任意のDerivatives（デリバティブ）にも適用できる。

基本原理

株式の収益率が正規分布を従うと仮定しよう。それだと現在価格100円の株式が一カ月後110円になる確率を計算できる。コールオプションの価格は

満期の株式価格ー行使価格

になるので110円の時に行使価格100円のコールオプションの価値は10円である。オプションの期待値を求めるには

10円 X 株式が110円になる確率

このようにすらばいいと思える。
正規分布を使うので、株式が満期にどの値段になるかは全ての価格ごとに確率計算が可能である。（コールオプションの価値X それぞれの確率 これを積分）
一言で言うとオプション価格（デリバティブ）の期待値を求める式である。
個人的な感想では将来の株価を正規分布で考えるという発想がとても面白かった。

式

オリジナルの無配当株式を前提にした、コール・オプションの価格（C）の決定式は以下のようになる。

BS式

ただし、

　微分方程式の方

意味は以下の通り
S ：原資産である株式価値
N（α）：標準正規分布に従う確率変数がα以下の値をとる確率を観。
すなわち標準正規分布の累積分布関数
K：コール・オプションの行使価格
t：満期時点（年単位）
r：オプションの満期に対応する無リスク金利（連続複利ベース）
e^{-rt}：時点tで発生するキャッシュ・フローを、連続複利金利rで現在価値（ディスカウント・ファクター）
σ：ボラティリティ（原資産の収益率の標準偏差）

金融工学の領域だが、確率微分方程式が出てくるとは思わなかった。導入過程は長いので、次回式を導きたいと思う。itoの補助定理などの数学的なテクニックがあって、楽しいと思う。

微分方程式を解くときにとても面白いところは熱力学でブラウン運動、熱方程式と同じ公理で展開される（アインシュタインの）！よって、ブラウン運動の解を求めれば微分方程式を解けば上記の微分方程式も解ける。
やはり全ての学文は繋がってると思った。
勉強しなきゃいけないことが多いので、効率的に勉強しよう。

参考記事
https://blog.naver.com/yunjh7024/220876228045
https://www.sigmabase.co.jp/useful/keyword/h/bs_model.html