2024年度第1回全統記述模試数学Ⅲ型全問解説

2024年5月に実施された河合塾全統記述模試の数学Ⅲ型全問解説になります。 模試で120点以上を取りたい方向けの動画となっております。 現時点で50~60点未満の場合は、まず解説を読んで大問1や大問2以降の各(1)が解けるように基本的な公式や解法を叩き込みましょう！ 【１】 (1)　不等式2| x-2|-x≦4を解け。 (2)　関数f(x)=log₂(x-1)+2log₄(3-2x)の最大値を求めよ。 (3)　曲線y=x³+2x²とx軸によって囲まれた部分の面積を求めよ。 (4)　Σ　1/(4k^2-1)　をnを用いて表せ。 (5)　OA=2，OB=3，∠AOB=60°である三角形OABにおいて辺ABを1:3に内分する点をCとする。 (ⅰ)　OCをOA,OBを用いて表せ。 (ⅱ)　|OC|を求めよ。 【２】 1個のサイコロを繰り返し振る。k回目（k=1,2,3,…）に奇数の目が出たら、その目の数をx_kとし、偶数の目が出たら、その目の数を2で割った商をx_kとする。 S_n=x_1+x_2+x_3+…+x_n　(n=1，2，3，…) と定める。 (1)　S_1=3 である確率、S_2=6 である確率をそれぞれ求めよ。 (2)　S_4=12　である確率を求めよ。 (3)　S_4=12　であったとき、S_2=6 である確率を求めよ。 【３】 Aを正の定数とし、0≦θ＜2πにおいて、θの方程式 asin2θ-2a^2cosθ-sinθ+a=0　　…（*） を考える。 (1)　a=1のとき、（＊）を解け。 (2)　（＊）がちょうど３つの解をもつようなaの値を求めよ。 (3)　（＊）がちょうど４つの解をもつとする。４つの解のうち、最小のものをα、最大のものをβとするとき、α＋βの値を求めよ。 【４】 xy平面上において、連立不等式 x≧0，y≧0，x+y≦1 で表された領域をDとする。 (1)　点P(x，y)がD上を動くとき X=2x-6y，Y=5x+y によって定められる点Q（X，Y）が存在する領域をXY平面上図示せよ。 (2)　aを実数の定数とする。点P（x，y）がD上を動くとき 　　(2x-6y-a)^2+(5x+2y)^2 の最大値をaを用いて表せ。 【５】 平面上に直線lとそれに接する半径1の円C_1がある。C_1の右側にあり、C_1とlに接する円をC_2とする。 C_nの中心をA_n，半径をr_n，C_nとlの接点をB_nとすると A_nB_n：A_nA_(n+1)=1：p が成り立っている。ただし、pは1＜p＜2を満たす定数とする。 (1)　r_(n+1)をr_n，pを用いて表し、r_n求めよ。 また、Σr_n=3となるようなpの値を求めよ。 (2)　pを(1)で求めた値とする。 (ⅰ)　\ B_nB_{n+1}を求めよ (ⅱ)　極限値lim[n→∞]{B_1B_n}を求めよ (ⅲ)　α＝lim[n→∞]{B_1B_n}とし、βを正の定数とする。　　　極限limn→∞(B1Bn－α)βn⬚が0以外の値に収束するようβの値と、そのときの極限値を求めよ。 【６】 aを正の定数とし、iを虚数単位とする。複素数zに関する2つの方程式 z^3=－8i…①　　 z^2－2az+8=0…②　　 を考える。 (1)　①を満たすzについて、zの極形式を z=r(cosθ+isinθ)　　　　r＞0，0≦θ＜2π と表すとき、r，θの値を求めよ。 (2)　②が異なる2つの虚数解α，βを持ち、複素数平面上で3点0,α,βを頂点とする三角形の面積が４であるとする。ただし、(αの虚部)＞(βの虚部)。 (ⅰ)　aの値とα、βを求めよ。 (ⅱ)偏角を0以上2π未満の値で考えるとき，①の解のうち偏角が最大であるものをγとする。複素数平面上で3点α,β,γ^nを頂点とする三角形の内部に原点が存在するような正の整数nを求めよ。