【実証分析のエッセンス📊】最尤法(Maximum Likelihood Method)の概要とその目的について：計量経済学✨No.29

2023年9月25日 15:19

Introduction：計量経済学への挑戦🔥

経済学部に通う私も
いよいよ大学「学部」最終年になり
学問に全力を注ぐ時間も限られてきました👍

「知は力なり」という言葉を信じて
残りの大学生生活を満喫したいと思います

学部レベルのマクロ経済学は
個人的によく理解できたつもりです

しかしながら、本当の経済の動向を理解するには、学部レベルの知識ではお話になりません😥
また、正しい計量経済学の知識やデータ分析のリテラシーを会得しなければなりません💦
現実の経済データを、理論モデルと当てはめ
正しい計量手法によって実証分析できる力を醸成したら
きっと将来どこかで活躍できる人財になれる可能性を高めることに繋がると思います

実際の経済動向や政治と結びつけながら
応用できる能力がなければ
知識を持つ意義も小さくなってしまいます💦

何事もアウトプット前提のインプットが
大事であると、noteで毎日発信してきました

これは、どのような内容で
あっても当てはまります👍

先行研究の論文を一概に読んでも
記憶に残っていなかったり
大切な観点を忘れてしまっていたりしたら
学習の進捗は滞ってしまうと思います

だからこそ、この「note」をフル活用して
自分の知識を1％でも、定着させ
誰にでもわかりやすい解説をアウトプットできるように努めていきたいと思います

私がこれからアウトプットする
計量経済学において最重要なパートである
時系列分析のモデル理論解説を
どうぞ最後まで、ご愛読ください📖
本投稿作成における参考文献は以下の通りです

前回のお復習い✨

最尤法(Maximum Likelihood Method)とは？？✨

今回の投稿から、実証分析のエッセンスとして最尤法(Maximum Likelihood Method)をご紹介します

そして、最尤法について正しく理解し、実証分析の際に適切な解釈ができるようになるレベルまでアウトプットしていくことにします

今回の投稿を作成する上で参考にしたリンクは以下の通りです📝

最尤法とは、最小二乗法、モーメント法、一般化積率法のような未知パラメーターの推定方法の1つです

そして、最尤法は様々なモデルに適用でき、また、推定量として望ましい性質を持っているため広く使用されています👏

今後は、最尤法の定義を説明し、さらにその性質および関連した統計的手法についてインプットしたことを、整理していくことにしましょう💖

最尤法の目的関数

標本から未知パラメーターを推定する方法のほとんどは標本と未知パラメーターの関数としてある目的関数を定義し、それを最小化（あるいは最大化）する未知パラメーターの値を推定量とする方法が一般的であると言われています
※ただしモーメント法は、この例には当てはまりません📝

例えば最小二乗法(OLS)であれば、目的関数として残差平方和(ESS)を定義しそれを最小化するようなパラメーターを推定値として求めます

またGMMであれば、モーメント条件を標本平均に置き換えたベクトルに対しての、ある重み関数による二次形式を目的関数として定義し、それを最小化する値を推定値とする手法になります

最尤法も、当然ながらこのような推定法の一つです
先程も述べましたが、最尤法では尤度関数と呼ばれる目的関数を最大化する未知パラメーターの値を推定量(値)とします📝

尤度関数(Likelihood function)🔥

尤度関数(Likelihood function)は観測された確率変数が離散型か連続型かで定義がやや異なります
ただし、確率関数が密度関数になるだけでありそこまで大差はありません

まず離散型の確率変数についての尤度関数の定義を述べることにします

今 Xi, i =1,…,n は離散型確率変数で、その同時(結合)確率関数は未知パラメーターベクトルθに依存しており、以下(1)式のような形で与えられるとしましょう

そして、Xi , i =1,…,n の値が与えられた時、f (x1,x2,…,xn;θ) をθの関数とみなしたものを(2)式のように表記するとします

このθに関する関数L(θ)が尤度関数となります📝

$$
\\X_i: Discrete Random Variable\\ \\
Joint Probability Function\\f(x_1,x_2,\cdots,x_n;\bm{\theta})\cdots(1)\\ \\Likelihood function\\L(\bm{\theta})=f(x_1,x_2,\cdots,x_n;\bm{\theta})

$$

つまり(離散型確率変数の場合)尤度関数とは同時確率関数を未知パラメーターの関数とみなしたものであると言えます📝

連続型確率変数の場合は、同時確率関数が同時密度関数になるだけです
すなわち、連続型確率変数 Xi, i = 1,…, n の同時密度関数をf(x1,x2,…,xn;θ)とすると、尤度関数L(θ)は(2)'式同様の定式化で与えられるのです･･･

また、以下の内容は、特に言及がない場合は、f (x1 ,…, xn;θ)が同時確率関数の場合でも同時密度関数の場合でもどちらでも成り立つことが知られています

i.i.d.確率変数の場合

確率変数 Xi, i =1,…,n が i.i.d.確率変数の場合、同時確率(密度)関数は周辺確率(密度)関数の積となりますので、尤度関数は以下に示す(3)式のような形になります

$$
\\X_i:i.i.d. random variable\\ \\Simultaneous Probability (Density) \\\Rightarrow
Multiplication of Marginal Probability (Density) Functions\\ \\L(\bm{\theta})=f(x_1;\bm{\theta})f(x_2;\bm{\theta})\cdots f(x_n;\bm{\theta})\cdots(3)
$$

ここで、f(xi;θ)は Xiの周辺確率(密度)関数であり、関数形f(.;θ)は同分布なので全てのXiについて共通であると言えるのです

本日の解説はここまでとします📝

次回も引き続き「最尤法：対数尤度関数」についてアウトプットしていくことにしましょう💖

計量経済学を学ぶ意義について✨

計量経済学が時系列解析法を「理論なき計測」として退けるところからスタートしたことでよく知られているのです

1930年に創立された計量経済学会の規約第1条では、計量経済学は「理論的数量的アプローチと経験数量的アプローチの統一」と定義されていました📝

また、R・フリッシュによる『エコノメトリカ』創刊の辞では、「統計学、経済学、数学の三者の統合」と定義されているのです👍

このような定義においては、当時のハーバード景気予測に代表される時系列解析法への批判が強く意識されていたとされています

すなわち、それが29年の大恐慌の予測に失敗したのは，経済理論を無視し、時系列データの形式的な解析のみに終始したからであったということです

今後はそうした「理論なき計測」の立場を退け、「理論に基づく計測」を重視していかなければならない、という見解の重要性が増しています
このような歴史を経て、計量経済学はスタートをきったのでした

そして、何よりマクロ経済変数は
その多くが互いに影響を及ぼし合う相互依存の関係にあり、また過去の変化の影響が持続するという傾向を持ちます

これらの動向を分析したり、将来を予測したりできるようになるためには、計量経済学、ひいては「時系列分析」に対する理論や正しい実証手法への理解が必要不可欠となります

「計量経済学」シリーズの投稿では、こうしたマクロ時系列変数の実証分析に必要な計量理論と手法を習得することを目的とします

今後とも私がアウトプットする
時系列マクロ経済分析に関する内容について
最後までご愛読いただけますと幸いです💖

付録：私の卒論研究テーマについて🔖

私は「為替介入の実証分析」をテーマに
卒業論文を執筆しようと考えています📝

日本経済を考えたときに、為替レートによって
貿易取引や経常収支が変化したり
株や証券、債権といった金融資産の収益率が
変化したりと日本経済と為替レートとは
切っても切れない縁があるのです💝
（円💴だけに･･･）

経済ショックによって
為替レートが変化すると
その影響は私たちの生活に大きく影響します

だからこそ、為替レートの安定性を
担保するような為替介入はマクロ経済政策に
おいても非常に重要な意義を持っていると
推測しています

決して学部生が楽して執筆できる簡単なテーマを選択しているわけでは無いと信じています

ただ、この卒業論文をやり切ることが
私の学生生活の集大成となることは事実なので
最後までコツコツと取り組んで参ります🔥

本日の解説は、以上とします📝

今後も経済学理論集ならびに
社会課題に対する経済学的視点による説明など
有意義な内容を発信できるように努めてまいりますので、今後とも宜しくお願いします🥺

最後までご愛読いただき誠に有難うございました！

あくまで、私の見解や思ったことを
まとめさせていただいてますが
その点に関しまして、ご了承ください🙏

この投稿をみてくださった方が
ほんの小さな事でも学びがあった！
考え方の引き出しが増えた！
読書から学べることが多い！
などなど、プラスの収穫があったのであれば

大変嬉しく思いますし、投稿作成の冥利に尽きます！！
お気軽にコメント、いいね「スキ」💖
そして、お差し支えなければ
フォロー＆シェアをお願いしたいです👍
今後とも何卒よろしくお願いいたします！

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