複素数って不思議...

今回は数学の話題で。
特に複素数を扱ってみる。

じゃあそもそも複素数ってなんだろう？

まず小学校では0と1,2,3,...と続く自然数を習った。
そして分数や小数(正の有理数)も習う。

中学校ではマイナスの数を習い、
3年生ではルートなどの無理数を習う。

そして有理数と無理数を足して実数といった。

そして数学IIで実数に虚数を足して複素数を作った。

一般的にはiは二乗すると-1になる数で特にi=√(-1)とすることが多い。

そしてx,yを実数として
z=x+yiと書けるもの。
これが複素数。

さて、ここまでは復習でここからが本題。

複素数の面白さは複素関数論で学べるのでそちらはそちらとして、今回は不思議だと思うことに注目してみる。

何が不思議かというと、、

例えば$${x^2-1=0}$$の解は？
と言われたらそりゃ±1でしょ！となる。

でも自然数だけなら1しかない。
整数という一つ大きなものに拡張したから-1も解になっている。

では次に$${x^2-2=0}$$の解は？
と言われたらそりゃ±√2でしょ！となる。

でも待ってほしい。これは実数に拡張したから解を持つのであって整数には解を持たない。

最後に$${x^2+1=0}$$の解は？
と言われたら、これはもう実数には解がなく、複素数において±iが解である。

(1,2の例は一旦置いておいて)、一般に体を拡大すれば解の数は増える(か同じ)である。
実際上の例でそうなっている。

しかし複素数はそれ以上拡張しても変わらない。

代数学の基本的によると複素係数のn次方程式は(重解を許して)n個の解を持つ。

つまり複素数まで拡大することで解を取り尽くせてしまう。

これってすごい不思議で、特別ないものだと思う。
だから複素数について議論すると大抵変なことが起こる。

それについては体論などで...