模擬授業84．「地球の周の長さ（７）」

ＪＨＳ関西＆中高横浜合同例会でのＤ表検定模擬授業。

模擬授業

１．単元構成

１次 地球の大きさ（４時間）
（１）錯角…中二「図形」領域「平行線の角の性質」
（２）地球の周・直径…錯角の利用・円周の公式（本時）
（３）エラトステネス…数学史
（４）GPSを利用して地球の周を求める…緯度・円周の公式
２次 月の大きさと月までの距離（４時間）
（１）相似…中学第三学年「図形」領域「相似」
　（２）月食から月の直径…中一「図形」領域「垂直二等分線」
　（３）月までの距離…中三「図形」領域「相似の利用」
　（４）アリストテレス…数学史
３次 太陽までの距離と太陽の大きさ（４時間）
　（１）三角比…高一「三角比」
（２）太陽までの距離…高一「三角比の利用」
（３）太陽の大きさ…中三「相似」
（４）アリスタルコス…数学史地球の大きさ（本時）

２．指導案

説明１　地球の1周を、古代のギリシャ人は、次のように推定しました。
発問１　正しい、と思うものを、一つ選びます。
「① ７万㎞だという人？」「周りを見るのですよ」
「② ４万８千㎞」
「③ ４万㎞」挙手で確認。
指示１　実際に計算して確かめます。みんなで読みます。「あるとき」、さん、はい。
「あるとき、井戸の底に太陽が映っていた」
生徒の中（左側）へ入っていく。
発問２　このとき、太陽の光の向きは、A、B、Cのどれですか。
指名「Ｂです」「Ｂだね」
指示２　同じ時刻、井戸から785㎞離れた地点。続きを読みます。
指名「地面に対して垂直に棒を立てた」（指名したが他の人も読んでしまった）
発問３　太陽の光が、棒に、あたります。地面には何が写りますか。
前へ戻っていく。指名「影です」
説明２　この三角形より、太陽の光、と棒との角度は、7.2°であることがわかりました。
発問４　中学２年生の復習です。平行線の何が等しいのですか。
生徒の中（右側）へ入っていく。指名「錯角です」
発問５　太陽の光は平行です。角χは、何度ですか。
指名「7.2°です」（最初に指名した人は「数学苦手なんで」と答えた。「はい」とさらっと流した）
発問６　円の１周は、何度ですか。
「360°です」
指示３　7.2°を何倍すると、360°になりますか。□を求める式を書きなさい。
「何÷何ですか」指名「360÷7.2です」
「計算します。できた人はできましたと言います」
「書けた人は、答えを言います。いくつですか。はい」「50です」
発問７　井戸から棒まで785㎞です。地球の１周を求めます。785を何倍するのですか。
指名。「50倍です」
「計算します。できた人は見せにきます」「先着5名とします」
板書「785×50＝39250」「できた人は丸」
説明３　皆さんと同じように計算して、エラトステネスは、地球の１周を、求めましたのです。
説明４　次の授業では、地球、月、太陽について、次のことを求めます。
「授業を終わります」
３．授業の意図
　中学の数学で学ぶ「錯角」「相似」、高校で学ぶ「三角比」を使って、
地球・月・太陽の大きさや距離を求める。
中学2年の図形で、「錯角」を学ぶ。錯角と円周を求める公式だけで、地球の大きさ、つまり、地球の周や直径を求めることができる。
　中学3年の図形で、「相似」を学ぶ。地球の直径がわかれば、相似を利用して、月の大きさと地球から月までの距離を求めることができる。
　高校1年の数学Ⅰで「三角比」を学ぶ。三角比を利用して、地球から太陽までの距離がわかり、相似を利用すれば太陽の直径がわかる。
（１次　地球の大きさ）
６月21日（夏至の日）の正午、シエネ（アスワン）の井戸の底に太陽がうつる。シエネは北回帰線上に位置している。同じ時刻、シエネから北のアレキサンドリアでは、地面に棒の影ができていた。棒と太陽の光の角度は、円１周の50分の1（7.2°）であった。シエネとアスワンは、当時の単位で５千スタディオン離れている。したがって、地球の一周は、5千スタディオンを50倍した25万スタディオンであることがわかった。
古代ギリシャのオリュンピア競技祭で用いられた１スタディオンは185ｍで、地球の周長は46250㎞となる。これは、実際の値4万ｋｍを15％上回る数字だ。エジプトの1スタディオンは157ｍで、この場合、地球の周長は、39250㎞となり、誤差は２％でしかない。授業では、1スタディオンを157ｍとした。39250㎞を円周率3.14で割ることで、地球の直径が12500㎞と求められる。
エラトステネス（Eratosthenes、紀元前275‐194年）は、このような計算で、地球の１周、地球の直径を求めた。エラトステネスは、地球の大きさを初めて測定した人物となった。地球の１周の数値を手に入れたことによって、月の大きさ、地球から月までの距離を求められるようになった。そして、アナクサゴラスとアリスタルコスによって、地球と太陽の距離、太陽の大きさが計算で求められるようになった。
エラトステネスは、アレキサンドリアの研究機関ムセイオン（museion：museumの語源）の館長を務めていた。エラトステネスは、「第2のプラトン」とも呼ばれていたことにより、「β（ベータ）」というあだ名があった。何をやっても第一人者にはなれず、つねに２番手であることへの皮肉であったという説もある。
中学２年で、「平行線の錯角は等しい」ことを学ぶ。これは、ユークリッド（Euclid、紀元前300年ごろ）の『原論』（Elements）の公準５から導かれる命題29である。中学３年で、エラトステネスのふるいを習う。中２、中３で地球の大きさを求める授業を実施する。
　シエネとアスワンの距離５千スタディオンは、歩いて測られた。毎年、ナイル川が氾濫した後、地図を作り直すためにエジプト政府が派遣した調査員が歩測していた。日本最初の地図である伊能忠敬の『大日本沿海與地全図』（1821年）にも歩測は用いられている。
　エラトステネスが実際に使った棒の影は、日時計の棒（グノモン：gnomon）であると考えられている。
　円の１周が360°である「度数法」ができたのは、エラトステネスの時代より1世紀ほど後のことである。バビロニアの60進法より円の１周を360°とすることは、紀元前２世紀頃から使われるようになった。
エラトステネス以前、アリストテレス（Aristoteles、紀元前384‐322）は、地球の１周を７万ｋｍ、アルキメデス（Archimedes,紀元前287‐212年）は４万８千ｋｍと文献に残しているが、測定方法が書かれていない。
　地球の1周が４万ｋｍとなるのは、1971年、フランスの国民議会で、「地球の北極から赤道までの子午線の長さの1000万分の1」と1メートルと正式に採用したからである。その後、「メートル原器」によって、1メートルを定めた。メートル原器は、それ自体の長さではなく原器の両端付近に記されたそれぞれの目盛の距離が摂氏零度の時に1メートルとなるよう設定されている。1983年の第17回国際度量衡総会において、光速度を基準とする現在の定義「1メートルとは、1秒の299792458分の１の時間に光が真空中を伝わる行程の長さである」が採用された。　　
今では、カーナビゲーションシステムや携帯電話についているGPS（Global Positioning System）を利用して、２点間の緯度と距離が分かれば、地球の１周が簡単に求められる。
（２次　月の大きさと距離）
月食で黒く見える部分は、地球の影である。ピタゴラスやアリストテレスは、影の形から、地球は球であると考えていた。
月食の始まりから、月が完全に隠れる時間は、50分である。このとき、月が移動した距離は月の直径と等しい。200分後、再び月が見え始める。つまり、200分で、地球の直径だけ月が移動したことを示す。この2つの事実から、アリスタルコス（Aristarchus , 紀元前310年 - 紀元前230年頃）は、月の直径は地球の直径のおよそ4分の1であることを知っていた。しかし、アリスタルコスの時代に地球の大きさはわかっていなかった。
また、月食の写真が1枚あれば、月と地球の直径の比がわかる。地球の影の3点を通る円を垂直二等分線で作図し、写真の月と作図した地球の比を求めればよい。
満月のとき、月と五円玉の穴がちょうど重なるようにする。このとき、目から五円玉の距離は60㎝、五円玉の穴は0.5㎝（正確には0.52㎝）であった。五円玉の距離は、五円玉の直径の120倍である。「相似」の関係より、月までの距離は月の直径の120倍である。
ピタゴラスやアリストテレスが地球の球であること（地球球体論）を証明し、アリスタルコスが月の大きさは地球の4分の1であることを求め、それらのことから、地球の大きさを求めたエラトステネスが月の大きさや月までの距離を手に入れた。
今では、レーザー光を利用して、月までの距離を求める。「アポロ計画」によって、月には反射板が置いてある。月に向かったレーザー光が反射して返ってくるまでの時間は、約2.56秒である。したがって、光がつきに届くまでに1.28秒かかることになる。光の速さはおよそ30万キロメートル（正確には299,792,458 m/s）なので、月までの距離は300000（速さ）×1.28（時間）＝384000キロメートルで求められる。
また、ヒッパルコス（Hipparchus,紀元前190年ごろ - 紀元前120年ごろ）は、三角比を利用して、月までの距離を求めた。月が真上に見える地点と月が水平線に見える地点の2点が、地球の中心と作る角が89°であった。すると、地球の半径と月までの距離は59倍であることがわかる。このことから、月までの距離を求めた。
（３次　太陽の距離と大きさ）
同じようにして、アリスタルコスは、地球と太陽までの距離を、三角比を利用して求めた。月が半月のとき、月・地球・太陽がなす角は87°（実際は89.85°）とはかり、太陽までの距離を月までの距離の20倍（実際は400倍）として計算した。
太陽までの距離がわかると、日食を利用して、太陽の直径がわかる。月までの距離を求めた場合で、五円玉が月に、月が太陽になったと考えればよい。つまり、月の直径を400倍すれば、太陽の直径が求まる。
実際の数値を、以下に示す。
地球の周長　　　　　　　　40,100㎞
地球の直径　　　　　　　　12,750㎞
月の直径　　 　　　　 　　3,480㎞
地球と月の距離　　　　　384,000㎞
太陽の直径　　　　　　1,390,000㎞
地球と太陽の距離　　150,000,000㎞

＜参考文献＞

『ビックバン宇宙論（上）』、サイモン・シン著、新潮社
『ビックバン宇宙論（下）』、サイモン・シン著、新潮社
『世界でもっとも美しい10の科学実験』、ロバート・P・クリース著、日経BP社
『数学大好きにする“オモシロ数学史”の授業30―話材+授業展開例+ワークで創る』、上垣渉著、明治図書
『モノグラフ数学史』、矢野健太郎著、科学新興新社
『宇宙を測る―宇宙の果てに挑んだ天才たち』、キティー・ファーガソン著、講談社
『なぞとき感覚で挑戦！数学でわかる宇宙と自然の不思議』、ニュートンプレス
『頭が良くなる図解「数学」はこんなところで役に立つ』、白鳥春彦著、青春出版社
『宇宙を測る』、小尾信彌著、朝日新聞社
『はかってわかる！おどろき大百科２　地球・宇宙をはかる』瀧上豊監修、文研出版
『新しい高校地学の教科書』杵島正洋、松本直紀、左巻健男編著、講談社

検討

井上好文氏
１．キロメートルという単位のパーツが抜けている。メートルの定義。
２．唐突。
３．「古代のギリシャ人」がわからない。たとえば、「2000年以上も前のギリシャ人は」とする。
４．ギリシャ人が地球が丸いことを知っていたことを示す。
５．三択は安易。
６．学ぶ必然性。たとえば、「今は、こうだよ」という話を入れる。
７．終わりは「2500年前に生まれていたら、天才だったね」
８．「（7.2°が）わかった人」（いない）唐突だから。

分析

１．良い授業を多く見て、授業の組み立てを学ぶ。
２．学ぶ必然性があるように導入を工夫する。
３．キロメートル、地球が丸いことなどのパーツや授業が必要。