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糸の先の重りが水平面内で円運動する振り子を円錐振り子という。 糸の長さを$${l}$$、糸と鉛直線との角を$${\theta}$$、重りの質量を$${m}$$、糸の張力を$${S}$$、円運動の半径を$${r}$$、角速度を$${\omega}$$、周期を$${T}$$とする。（$${r=l\sin\theta}$$） （運動方程式による解） 重りに働く力は重力$${mg}$$と糸の張力$${S}$$である。慣性系に対する円運動の加速度は円の中心に向かって$${r\ome
振り子の周期を求める式$${T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}}$$は$${\sin\theta=\theta}$$としたときの近似解であり、厳密には周期は振れ幅$${\theta}$$に依存した関数であることはすでに書いた。 （θが小さいとき sinθ=θ） $${T=4\sqrt{\dfrac{l}{g}}\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{d\phi}{\sqrt{1-\sin^
一様な重力場に両端を固定したロープを吊るしたときの曲線である。カテナリー曲線ともいう。（鎖のことをラテン語でカテナリというらしい） 双曲線関数と呼ばれるもので17世紀末にヨハン・ベルヌーイ、ライプニッツらによって見い出された。吊り橋、寺院の屋根などの曲線であり、漱石の猫でも水島寒月が語っている。 糸を固定する位置を$${(-x_0, y_0)､(x_0, y_0)}$$とする。 糸の微小な長さを$${ds}$$とすると $${ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\
関数$${f(\{q_i\})}$$が停滞値を持つとき $${\delta f=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{\partial{f}}{\partial q_i}\delta{q_i}=0}$$ (1) （ただし$${q_i}$$は互いに独立） 任意の$${\delta{q_i}}$$について成り立つには $${\dfrac{\partial{f}}{\partial q_i}=0}$$ (2) ところがもし変数$${q_i}$$が互
ほとんどの解析力学のテキストはここから始まる。 仮想変位。英語では virtual displacement という。（そのままだ） または infinitesimal variation ともいう。無限小の変化。 わかるようなわからないような言葉だが、これが大きな力を発する。 仮想変位 ・十分小さい変位 ・力を変化させないようような無限小の変位 ・実際には動かさないが少しだけ動かす変位 ・動くことのできる方向に動かす変位 など､いろいろないい方がされている。 値を$${\
Lagrangeの運動方程式の導出はこれで３回目である。（１回目、２回目） 奥が深すぎてよく見えないが、少しずつ光が射してきた。 d'Alembertの原理（加速度系に拡張した仮想仕事の原理）より $${\displaystyle\sum_{i=1}^f(Q_i-m\ddot{q_i})=0}$$（つりあいの式） 仮想変位を$${\delta q_1}$$、仮想仕事$${\delta W}$$とすると $${\delta W=\displaystyle\sum_{i=1
余因子行列から出すのと掃き出しの２通りの方法がある。以下に算出の例を示す。 １ 余因子行列から $${A=\begin{bmatrix}a_{11} a_{12} a_{13}\\a_{21} a_{22} a_{23}\\a_{31} a_{32} a_{33}\end{bmatrix}}$$のとき、$${A}$$が正則（$${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\neq0}$$）であれば $${A_{ij}}$$を$${a_
コロナ騒ぎの自宅待機以降、川原や山をうろつくようになった。河原や山の中は街中と違いマスクをする必要がない。一人なので自分のペースで痛めている膝と相談しながら動ける。はじめは体力維持のためだったが、そのうちに自然の観察を兼ねるようになった。野山の季節ごとの花や鳥の名前を覚え、しばらくすると忘れる。 今回、前から気になっていた石澄の滝に行くことにした。石澄の滝は箕面市と池田市の境を流れる石澄川の上流にある。ネットでの情報では箕面の滝と同規模の滝らしい。実は石澄の滝には遥か〇十年前
Euler の微分方程式とLagrange の運動方程式はそっくりである。 実は同じ原理に基づいている。 $${\text{Euler's eq}：\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial F}{\partial y'}\Big)-\dfrac{\partial F}{\partial y}=0}$$ $${\text{Lagrange's eq}：\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial \mathscr{L}}{\p
物体がある曲線上を摩擦なしで重力だけが働く条件ですべり降りるときの速度が最も速くなるものを最速降下曲線という。この問題は変分法（Eulerの微分方程式）を使って解くことができ、その曲線はサイクロイドであることが知られている。 日本の江戸時代初期にあたる1600年代に解法を巡ってヨハン・ベルヌーイ、ロピタル、兄のヤコブ、ライプニッツ、ニュートンら巨人たちの確執があったことでも有名である。（詳しくはかぎしっぽを参照） 以下に求め方を示す。 （参考書、ネットでたくさんの資料を調べ
$${I[y]}$$は関数$${F=F(x,y(x),y'(x))}$$の積分を含む汎関数とする。 $${I[y]=\displaystyle\int_a^bF(x,y,y')dx}$$ (1) $${x=a, x=b}$$の両端の$${y(x)}$$を固定した区間内で考える。 ここで $${y(x)}$$がある関数形の時に汎関数$${I[y]}$$が停滞値（極大,極小､変曲）をとるものとし、$${y(x)}$$の関数形を少し変えても$${I[y(x)]}$$の値が変わ
振り子が繋がっている。厄介な設定だがネット上には大量のシミュレーションがあがっている。繋がる振り子の数も2つどころか3つ、4つと。。 実物の動画まである。 ここでは振れ幅(θ､φ)が小さくてマクローリン展開で近似できる場合を考える。 まず$${\mathscr{L}}$$を求めLagrange’s eq に代入する。得られる式は$${\ddot{\theta},\ddot{\phi},\theta,\phi}$$が入り乱れた２元の連立２階微分方程式である$${(①②)}$$
１ 領域$${D=\{(x,y)| a\leqq x\leqq b, c\leqq y\leqq d\}}$$のとき $${\displaystyle\int\displaystyle\int_Df(x,y)dxdy=\displaystyle\int_a^b\Big\{\displaystyle\int_c^df(x,y)dy\Big\}dx= …}$$ または $${ =\displaystyle\int_c^d\Big\{\displaystyle
$${\mathscr{L}=T-U}$$と定義されるが、 実は$${\mathscr{L}=T-U+\dfrac{dW}{dt}}$$でも Lagrande's eq は成り立つ。($${W=W(\{q_j\})}$$) $${\dot{W}=\dfrac{dW}{dt}=\displaystyle\sum_{j=1}^f\dfrac{\partial W}{\partial q_j}\dot{q_j}}$$ である。 この$${\mathscr{L}}$$を Lagra
