ポラライズ-レンジの類別-

今回は中級者へ向けて、レンジの類別をしていきたいと思います。

その中でもポラライズドレンジへの理解を深め、EQが同等でもEVに一方的な差が生まれることを確認していきます。
ポラライズの強さを理解したら、実際の状況でポラライズできる場面はどのように訪れるのかを見ていき、実践に落とし込みたいと考えています。

前回書いたrobust equityの記事ですが、反響をいただき、無料にも関わらず多くの方がお布施を投げてくださいました。本当にありがとうございます。

モチベーションが高まりいろいろな記事を書こうと思ったのですが、没記事が多く出来上がり、更新が遅れてしまいました。申し訳ありません。
これからもゆっくり書いていこうと思うのでよろしくお願いします。

・良いレンジとは

さて、本題に入ります。
ポーカーとはショーダウンでハンドをお互いに開き、より強い役を完成させた方が勝利するゲームです。
初心者の方はこのイメージから、自分のハンドの強さを考えること、相手のハンドは何かを予測すること、に集中してしまいます。

一方中級者になると、相手のハンドをビタで当てることは特に意味がないと知り、相手の持ちうるハンドの集合(レンジ)と自分の持ちうるハンドの集合(レンジ)の強さが大切である、ということを学んできます。

この考え方ができるようになると、上手い下手はさておき、ブラフができるようになりますね。
弱いハンドのときに、自分のレンジのなかで強いハンドと同じラインを取ることで、相手は中程度のハンドを弱いハンドに降ろされる場面が出てきます。

さて、ではレンジが強いというのはどのような状態でしょうか？また、良いレンジとはどのようなレンジを指すのでしょうか？
「自分と相手のレンジを比べた時、自分のレンジ全体が相手のレンジ全体に対して50%以上EQを持っていれば、レンジが強い！」と考えた方はいませんか？
実は議論はこう単純ではありません。
なぜでしょう？

それは、いいレンジとはEVの高いレンジであるべきだからです。
EQが高いからといって、EVが高いとは限りませんでした。そうですEQR,robustnessの話ですね。
ではEQに比べ、EVが高くなるようなレンジとはどのように構築されるのでしょう。
今回はそれを見ていきたいと思います。

・レンジの類別

まず初めに、代表的なレンジをいくつか紹介します。既知の人もいると思いますがご確認ください。1.リニアレンジ
2.キャップドレンジ
3.ポラライズドレンジ
です。
(このほかにも色々なレンジがありますが今回は割愛します。)

1.リニアレンジ
リニアレンジ、ライナーレンジ、線形レンジなどと呼ばれます。

これは強いハンドから順に集めたレンジを指します。
例えば

UTGのopenレンジなどですね。
基本的に、オリジナルレイザー(プリフロップで最後にレイズした人を指すことが多い)のレンジはリニアレンジの性質が強いです。

2.キャップドレンジ
キャップドレンジ、コンデンスドレンジ、凝縮レンジなどと呼ばれます。
これは、ハンドの強さに上限がある(キャップされている)レンジをさします。
例えば

UTGopenに対するBBのコールレンジが該当します。QQ以上のハンドが抜け落ちていますね。これはQQ以上であれば3betをしているからです。基本的にコーラー側はかなり強いハンドを3betしているはずですから、コールした時はレンジ全体がキャップされています。

3.ポラライズドレンジ
ポラライズドレンジ、ポラーなレンジ、両極化レンジなどと呼ばれます。
これは、強い部分と弱い部分で構成された両極端なレンジを指します。

例えばポラエモンという人がポラ太郎というひとが上の画像のレンジでBTNからAll-inすると決めていたとしましょう。とても褒められた行為ではないですが、レンジ自体はポラライズドレンジを持っていると言えますね。

ここまでで三種類のレンジを見てきましたが、どのレンジもこの3つに該当するというようなわけではありません。
例えば

COのUTGに対する3betレンジを見ると、全体的にはリニアレンジですが、一部ポラライズされていて、ブラフ3betレンジが存在します。
ただし、このブラフ部分はrobustEQを多く持つものから構成されていますので、大きなpotに対して良いEVで闘うことができます。
流石にこのレンジをポラライズドレンジとは呼びたくないですが、ポラライズドレンジとリニアレンジの混合レンジになっている。とも言えるでしょう。

特に、適切なポラライズドレンジを構築すると、素晴らしいパフォーマンスを発揮することができます。以下でその仕組みを見ていきましょう。

・千里眼ゲーム(clairvoyance game)

さて、千里眼ゲームというゲームを考えます。(AKQゲームの方が馴染みがあるかも知れませんが、個人的にはこちらの方が好きです。)
ここで、千里眼とは「相手のレンジを千里眼的な読みによって完璧に把握している状態」を指すために使われています。
即ち、お互いのレンジは相手に筒抜けです。
(我々がGTOを考える時に似ていますね！)

pokerでは、自分側をHero(ヒーロー)相手側を(Villain 悪役)として説明することが多いので、今回もそれに倣いましょう。

いま、リバーでお互いのスタックは100bb.さらにポットにも100bbが入っていることにしましょう。
HeroのレンジはAA or QQ(等確率)
Villainのレンジは　KK
であり、コミュニティカードは
33322
となっています。フラッシュになるスートは存在しません。
HeroはOOPにいて、VillainはIPです。
ここで、betはall-inのみが許されているとします。
それぞれのEVはどうなるでしょう？

以上が千里眼ゲームの設定です。
さて、お互いのレンジはどのようになっていますか？
どのハンドを持っていたにしろフルハウスが完成し、その強さはAA>KK>QQですね？
このことから、
Heroはポラライズドレンジ
を
Villainはコンデンスドレンジ
を持っています。

さて、お互いのレンジのEQはどうでしょうか？
HeroもVillainも50%のEQを持っていますね。
なぜなら、HeroはAAの時に勝ち、QQでは負けるので、このハンドが等確率で配られるのなら、その勝率は50%ですから。

であるならば、どちらが有利ということはなさそう。どちらかと言えば、IPにいるKKのほうが有利では？という発想になりそうですね。
ところが、このゲーム圧倒的にHeroが有利です。
というか、ポラライズドレンジが有利なのです。
以下でこのゲームにおけるGTOを見ていきましょう。

・被支配戦略

ゲーム理論の用語で被支配戦略という単語があります。これは、相手の戦略によらず、確実により利得の高い戦略が存在するような戦略、すなわち、選択すると確実に損をするような戦略を指します。

さて、まず相手にbetされた場合の戦略を考えましょう。
AAでフォールドするのは被支配戦略です。
(KKに確実に勝つので)
QQでコールするのも被支配戦略です。
(KKに確実に負けるので)

では、これを踏まえてVillainの戦略ですが、
KKでbetするのは被支配戦略です。
なぜでしょうか？少し考えてみてください。

↓
↓
↓

↓
↓
↓
はい、当然ですね。
QQには降りられるしAAにコールされるからです。
つまりこのbetはバリューにもブラフにもなりません。
「あれ、バリューにもブラフにもならなくてもいいbetがあるってrobustEQの記事で書いてませんでしたか？」と思った方、今回はpotを膨らます価値もないですよ。逆転しないので。
つまり、KKにはbetする動機が一切ないのです。

さて、これを踏まえてHeroのOOPから初回アクションです。

AAでcheckするのは被支配戦略です。
なぜならKKはbetしてくれないので、チェックバックされるだけでせっかくの(エフェクティブ)ナッツなのに、利益をうめません。AAは絶対にbetすべきです。

QQでbetするのはどうでしょう？
これはブラフにできるのでありですね。
さて、これで被支配戦略を除外できました。
まとめましょう。

・HeroはAAで必ずbetする。
・HeroはQQではcheckもbetもありうる(後述)
・VillainはKKでcallかFoldする。

このように当ゲームでアグレッションを持てるのはHeroだけです。
一般に完全にポラライズされたレンジを持つ方はアグレッションを持てますが、キャップされた側は適当な頻度でブラフキャッチをすることしかできません。

さて、QQのブラフについて考えてみます。
pokerを少し触った人なら、QQでチェックの純粋戦略を取るという判断はないとわかるはずです。
もし、QQの全てをcheckするなら、VillainはKKでベットされたら100%で降りることで、KKのEQ全てを実現できます。

では、QQの適切なブラフ頻度とは幾つでしょう？
また、KKの適切なブラフキャッチ頻度とは幾つでしょう？
これを理解するためには当然ですが数式を持ち出す必要があります。
しかしながらそこまで難しい数式は必要ありません。
なぜなら、無差別の原理により説明がつくからです。

・無差別の原理

もし仮に、VillainがHeroのbetにたいして
callが利益的になる
とか
foldが利益的になる
のならば、Villainは全レンジで一方に振ることでHeroをexploitできてしまいます。
よって、Heroの適切なブラフ頻度とは、Villainにとって、callでもfoldでもどちらでも良いという状況を生み出さなくてはなりません。
これが無差別の原理です。

・α(アルファ)

さて、
Heroのブラフ頻度をx
bet額をb
pot額をp
として考えましょう。

Villainのコール時の期待値は
EVcall = x(b+p)-(1-x)b

フォールド時の期待値は
EVfold = 0

よって、
x(b+p)-(1-x)b=0
(2b+p)x=b
x = b/(2b+p)
となりますね。

この結果から、Heroは
全体2b+pのうち、bをブラフするべき。
すなわち
バリュー:ブラフ=(b+p):b
が適切とわかります。
バリューブラフ比率はb/(b+p)で
この値をα(アルファ)と呼びます。

さて、この適切な頻度でブラフされた時にVillainはどのくらいブラフキャッチをすれば良いでしょうか？

・MDF(Minimum Defence Frequency)

Villainの適切なcall頻度をmとしましょう。
Villainからみる無差別の原理によれば、HeroがQQでブラフをしてもチェックをしても無差別であることが必要です。

HeroのQQEVを見てみましょう
ブラフ時のEVは
EVbluff = p(1-m)-bm
チェック時のEVは
EVcheck = 0

よって、
p(1-m)-bm=0
m=p/(b+p)
となりますね。

この結果からVillainはp/(b+p)でコールすることが最適とわかります。この値をMDFと呼びます。
MDF = p/(b+p)

・まとめ

HeroのGTO戦略は
AAを全てbet
QQをアルファに基づいて"レンジ全体の"b/(2b+p)でブラフベット

Villainは
checkで回ってきたらcheckback
betされたらMDF=p/(b+p)でコール

です。
いま、b=p=100と決めてましたね。
なので、

HeroのGTO戦略は
AAを全てbet
QQをアルファに基づいて1/2でブラフベット

Villainは
checkで回ってきたらcheckback
betされたらMDF=1/2でコール

となります。

さて、最後に二人のレンジ全体でのEVを求めてみましょう。

EVHero 
= (EVAA+EVQQ)/2
={(1/2×100+1/2×200)+0}/2
= 75

EVVillan
= (1/2+1/2×1/2)×0 + 1/2×1/2×100
=25

さて、実際にHeroのEVがVillainより高い(3倍も！)ことが導かれました。EQが同じなのにです。

このように、ポラライズしたレンジを構築するとEQが等しくとも、一方的に高いEVを持つことができます。
これがポラライズの利点です。よく、「相手を悩ませることが強い」というような発言を聞きますが、適切にポラライズされたレンジでbetをする場合、相手は(ある意味で)悩む必要はありません。
ポラライズされた側のハンドは全てブラフには勝っているし、バリューには負けています。
考えることといえば一番いいブロッカーは何かなとかそういうこと位です。

・実践編

最後に、実戦でポラライズをどのようにするか例を挙げて見ていきましょう。

あなたはCOに座っています。
UTGの2.5bb openに対し、COから8bbに3betを返しました。UTGのみがcallをし、Flopは
KT2のレインボー
とてもDonkを打てるボードではなく、UTGはcheckをします。

ここであなたは幅広にcbを打つことができます。

薄い赤の部分で、1/4程度のcbを打ちます。
この安く広いbetに対し、Villainは強いところはx/r(xはチェックの意味です。これはチェックレイズ)を返す必要があります。

実際に、KやT、Aハイなどのハンドを除きfoldします。また、2p以上とストレートドローなどで幅広くレイズを返します。
今回はコールしたとしましょう。
ここで、こちらのハンドはすでに軽くポラライズされています
また、先ほど述べた通り、foldもレイズもしなかった相手のcallレンジはキャップされています。
これが最初のポラライズです。
あなたはKでcbを打ち、コールされた際、このポラライズに、気が付いていますか？
ポラライズとはオーバーベットを打つことではありません

レンジの強さを把握するのにはEQグラフが役に立ちます。

これはVillainがコールした瞬間のEQグラフです。
緑線がHeroでハンドのEQが高い順に右から並べ、そのEQを縦軸に取ったものと考えてください。
相手のハンドは70％近くがEQ=30〜45付近に叩き込まれてる一方で、
HeroはさまざまなEQを保持しています。

さて、ここでポラライズするのに嬉しいターンカードはなんでしょうか？
それはラグです。
ラグはポラライズされたレンジの強い部分を強化し、弱い部分をさらに弱くします。

あなたはラグを願います。
ターンカードは4のダイヤ！
フラッシュドローは存在しますが十分に素晴らしいカードでしょう。
さて、ポラライズの本領発揮です。

ポラライズされた側からのbetは自殺行為ですから、Villainはチェックします。
これに対しあなたはリバーオールインを目指してbetをしましょう。

濁った赤の部分で80％程度のダブルバレルを打ち込み、ポラライズを助長します。
かなりブラフが含まれているのが見えると思います。

VillainはKヒットやTヒットでコールレンジを守ります。(図の緑部分)

さて、運命のリバーです。
今回は2スペードが選ばれました。
ペアができましたが、お互いのレンジに2はすでにありませんからこれはラグです。
素晴らしいですね。相手のチェックにAllinを、叩き込みましょう。

EQグラフは綺麗なポラライズとなり、
コーラー側はブラフキャッチくらいしかすることがなくなります。
この時、Hero側は一方的に高いEVを保持することができます。

如何でしたか？よく話題に上がるポラライズですが、仕組みを理解し、実際にポラーなレンジを築けたとき、pokerの新しい楽しさを見出せると思います。

補足
書きたいことがたくさんありました。
千里眼ゲームでOOPとIPを入れ替えると？
ベットサイズを可変にすると？
ジオメトリックベットサイジングとは？
ストリートありでMDFの扱いについて。
ナッツエアーモデル以外のMDF
混合比を誤ると？

どこかで書く予定ですが今回はこの辺でお願いします。
続きを読みたいなと少しでも思ってくれた方。
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