1/10000の確率で当たりが出るくじを10000回引いて当たる確率(微分を利用)【毎日投稿13日目】

13日目です。
今回は微分を使って確率の問題を考察してみようと思います。

問題

常に1/10000の確率で画面に当たりが表示されるボタンを10000回押したとき、少なくとも1回画面に当たりが表示される確率はどれぐらい？

関数の導入

求める確率は
$${\displaystyle 1-\left(1-\frac{1}{10000}\right)^{10000}}$$ で表されます。

$${x}$$ を $${0\lt x\lt 1}$$ を満たす実数とします。
$${\displaystyle f(x)=\frac{\log (1-x)}{x}}$$ とおくと
求める確率は $${\displaystyle{1-e^{f(\frac{1}{10000})}}}$$ と書けます。
$${F(x)=1-e^{f(x)}}$$ とします。

f(x)とF(x)を調べる

$${\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{-x}{1-x}-\log(1-x)}{x^{2}}}$$ です。
ここで $${g(x)=\dfrac{-x}{1-x}-\log(1-x)}$$ とおくと

$${g(x)=1-\dfrac{1}{1-x}-\log(1-x)}$$ ですから
$${g'(x)=-\dfrac{1}{(1-x)^2}+\dfrac{1}{1-x} }$$ となります。
$${g'(x)=\dfrac{-x}{(1-x)^2}}$$

よって $${0\lt x\lt 1}$$ の範囲で常に $${g'(x)\lt 0}$$ です。
このことにより $${g(x)}$$ は $${0\lt x\lt 1}$$ の範囲で単調に減少します。
さらに $${g(0)=0}$$ であることから
$${0\lt x\lt 1}$$ の範囲で常に $${g(x)\lt 0}$$ となります。

このことから $${f'(x)\lt 0}$$ を得て、
$${f(x)}$$ は $${0\lt x\lt 1}$$ の範囲で単調に減少することが分かります。
結果的に $${F(x)}$$ は $${0\lt x\lt 1}$$ の範囲で単調に増加することが分かります。

次に極限を調べます。
$${\displaystyle\lim_{x\rightarrow +0}{F(x)}=\lim_{x\rightarrow +0}{\left(1-\left(1-x\right)^{\frac{1}{x}}\right)}=1-\frac{1}{e}}$$
($${e}$$ は自然対数の底)

調べた結果を活用

分かったことをまとめると
➀$${F(x)}$$ は単調に増加
②$${x}$$ が $${0}$$ に近づくと $${F(x)}$$ は $${1-\dfrac{1}{e}}$$ に近づく
です。

➀、②から特にこんなことが言えます。
$${1- \dfrac{1}{e}\lt F\left(\dfrac{1}{10000}\right) \lt F\left(\dfrac{1}{4}\right)}$$
※$${\dfrac{1}{4}}$$ を選んだのは手計算でもそんなに苦労しないからという理由です。
上の不等式から $${1- \dfrac{1}{e}<F\left(\dfrac{1}{10000}\right) \lt \dfrac{175}{256}}$$ となります。
それぞれの近似値を調べることで
$${0.632 \lt  F\left(\dfrac{1}{10000}\right) \lt 0.684}$$
を得ます。

結論は
常に1/10000の確率で画面に当たりが表示されるボタンを10000回押したとき、少なくとも1回画面に当たりが表示される確率は
約63.2％～約68.4％の間となります。

ちなみに実際に計算機で計算すると
約63.2%ということで「極限の方にとても近い」ことが分かります。

まとめ

今回は確率の素朴な疑問を微分や極限を使って考察してみました。
明日、続きの記事を書きます。

なお、本記事は以下のツイートをもとに書きました。

常に1/10000の確率で画面に当たりが表示されるボタンを10000回押したとき、少なくとも1回画面に当たりが表示される確率として、以下の中で最も近いのは？

— ふくま@数学🐙 (@Fukuma_topology) May 18, 2024

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