【渋谷教育学園幕張中学校2020年度入試算数第1問】取るメモは最低限に

西の男子校、東の男子校、東の女子校と来たので、(東の人間としては)次は東の共学校の最難関の一つ、渋谷教育学園幕張中学校を取り上げたいと思います。今回は第1問です。

(注) 元々地方の人間であるため私立中学のことは詳しくありません。特に西の学校については全く分かりません。そのため、西の女子校＆共学校を取り上げることができなくてごめんなさい。もし取り上げてほしい学校がありましたらご連絡ください。

渋谷教育学園幕張中学校・高等学校
2008年6月20日、Kattin撮影、Wikipediaより

問題

図のように，1, 2, 3, …, 143, 144 の数が書かれた144枚のカードを上から順に重ねた山と，そのとなりに箱があります。

山にあるいちばん上のカードについてる次の「操作P」，「操作Q」を P → Q → P → Q → P →…… のように山のカードが1枚になるまで繰り返します。

操作P　　カードを箱に入れる
操作Q　　カードを山のいちばん下にもっていく

このとき，次の各問いに答えなさい。

(1) 42枚目に箱に入れるカードに書かれている数はいくつですか。

(2) 72が書かれたカードを箱に入れるのは何枚目ですか。

(3) 最後に山にあるカードに書かれている数はいくつですか。

解答解説

普通は最初に小問集を持ってくる学校が多いですが、渋幕は最初から大問が来ています。とはいえ、難しくはありません。

ゆっくりやれば解ける問題ですが、それをどれだけ高速に解けるか？という趣旨だと思います。

とにかく、どういう順番でカードが箱に収まっていくかを書いていけばいいだけです。

① 1, 3, 5, 7, …, 143 の72枚が箱に収まり、2, 4, 6, 8, …, 144 がの72枚が山に残る。(すべての奇数が箱に収まり、偶数が山に残る。)

② 2, 6, 10, …, 142 の36枚が箱に収まり、4, 8, 12, …, 144 の36枚が山に残る。
(4の倍数ではない偶数が箱に収まり、4の倍数が山に残る。)

③ 4, 12, 20, ..., 140 の18枚が箱に収まり、8, 16, 24, …, 144 の18枚が山に残る。(8の倍数ではない4の倍数が箱に収まり、8の倍数が山に残る。)

④ 8, 24, 40, …, 136 の9枚が箱に収まり、16, 32, 48, …, 144 の9枚が山に残る。(16の倍数ではない8の倍数が箱に収まり、16の倍数が山に残る。)

⑤ 16, 48, 80, 112, 144 が箱に収まり、32, 64, 96, 128 が山に残る。
(ここで一番下にあった144が箱に収まっていることに注意)

⑥ 32, 96 が山に残り、64, 128 が箱に収まる。

⑦ 32 が山に残り、96が箱に収まる。

以上から、(1) ① のときに42枚目があるので、42 × 2 - 1 = 83、(2) 72 = 8 × 9 であるので、④でおさまることから、72 + 36 + 18 + (9 + 1)/2 = 131枚目、(3) 32。

上では読んでもらうためにていねいに書いていますが、実際にはもっと簡単にメモを取ると思います。

最初は箱に入る枚数だけを書いて、それから必要な部分だけ数字を求めていくのが効率的でしょう。

例えば、72/144→36/72→18/36→9/18→5/9→2/4→1/2 みたいに書いておきます。このとき、5/9 のところを注意しておきます。この問題のポイントです。

で、(1) は最初に72枚が箱に入ることを確認して、この中に42番目があることから、42番目の奇数を求めればいいということで、42 × 2 - 1 = 83 と求めます。

(2) の場合は、それぞれの段階で何が山に残るかを確認すると思います。そうすると、2の倍数、4の倍数、8の倍数、16の倍数が残っていきますが、72 = 8 × 9 なので、9/18 のところで箱に入ることが分かります。そのことから、72 + 36 + 18 + (9 + 1)/2 = 131 と求めるでしょう。

(3) は 5/9 のところから実際のカードを再現します。ここは16の倍数を操作しているので、16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144 が残っていて、⑤の部分から再現できます。あとは地道に書いていくだけです。

このようにして、いかにして必要最低限の情報だけで解いていくかが問われた問題だと言えるでしょう。