【渋谷教育学園幕張中学校2020年度入試算数第5問】比を駆使する立体問題

さあ最後の問題です。立体図形の問題ですが、それほど難しくはないと思います。(といっても、頭の中での処理が多いです。)

渋谷教育学園幕張中学校・高等学校
2008年6月20日、Kattin撮影、Wikipediaより

問題

図のように底面が正方形の角すい P-ABCD があります。三角形 APB と 三角形 APB はどちらも角 A が直角の直角三角形です。4つの辺 AB, BC, CD, DA 上にそれぞれ点 Q, R, S, T をとります。直線 QS と直線 AD，直線 TR と直線 AB はそれぞれ平行で，BR : RC = AQ : QB です。

図

このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，角すいの体積は (底面積) × (高さ) ÷ 3 で求められるものとします。また，立体のすべての面の面積をたし合わせたものを表面積といいます。

(1) 辺 AP, AB, PB の長さがそれぞれ 4cm, 3cm, 5cm のとき，角すい P-ABCD の表面積は何 cm2 ですか。

(2) この立体を点 Q と点 S を通るように底面に垂直な平面で切り，さらに点 T と点 R を通るように底面に垂直な平面で切り，切り取ってできた面だけに色をぬります。点 A, B, C を含む立体をそれぞれ立体 X, Y, Z とし，立体 Y と立体 Z の体積の比を 4 : 1 とするとき，次の各問いに答えなさい。

① 立体 X と立体 Z の体積の比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

② 立体 Z において，色をぬった部分の面積と，色をぬっていない部分の面積の比が 1 : 4 のとき，立体 X と立体 Z の表面積の比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

解答解説

(1) はやさしいです。

・底辺 3cm、高さ 4cm の三角形が2つ ⇒ 3 × 4 = 12 cm2
・底辺 3cm、高さ 5cm の三角形が2つ ⇒ 3 × 5 = 15 cm2
・1辺が 3cm の正方形が1つ ⇒ 3 × 3 = 9 cm2

以上から、12 + 15 + 9 = 36cm2 となります。

(2) はなかなか面白いです。Q の真上の点を H とでもおいておきます。

・立体 Y の体積 = QH × QB × (1/2) × BR
・立体 Z の体積 = RC × CS × (Zの高さ) × (1/3)

ですが、実は QB = CS かつ (Zの高さ) = QH なので、立体 Y の体積 : 立体 Z の体積 = (1/2) × BR : (1/3) ×RC = 4 : 1 になります。

ということは、AQ : QB = BR : RC = 8 : 3 となります。

さて、立体 Z と 角すい P-ABCD は相似で、相似比は (8 + 3) : 3 = 11: 3 なので、体積比では 11 × 11 × 11 : 3 × 3 × 3 = 1331 : 27 となります。立体 X は P-ABCD から立体 Y を2個分と立体 Z を取り除いた図形なので、① 立体 X の体積 : 立体 Z の体積 = (1331 - 27 × (4 + 4 + 1)) : 27 = (1331 - 243) : 27 = 1088 : 27 となります。

②ですが、立体 X の2枚の三角形は Z の色をぬられていない三角形と相似で、相似比は 8 : 3 です。ですので、立体 Z の三角形の面積の (64/9)倍になります。(下左図参照)

次に、立体 X の底面の正方形ですが、これも Z の底面の正方形と相似比 8 : 3 で相似なので、Z の底面の正方形の (64/9) 倍となります。(上右図参照)

次に、立体 X の側面の2枚の台形ですが、この台形は三角形 PAB から三角形 HQB をとりのぞいた形をしています。三角形 HQB は立体 Z の色をぬられた三角形(2枚ある)と同型で、三角形 PAB と 三角形 HQB は相似比 11 : 3 で相似なので、台形の面積は Z の色をぬられた三角形の (121 - 9)/9 = 112/9 倍になります。(下左図参照)

最後に、立体 X の2枚の切り口の長方形ですが、この長方形と立体 Z の色をぬられた三角形(2枚ある)を比べた場合、底辺は 8 : 3 で、高さは同じであるので、面積比は 8 : (3/2) = 16 : 3 となります。よって、長方形の面積は Z の色をぬられた三角形の面積の 16/3 倍になります。(上右図参照)

ここで、立体 Z の色をぬられた部分の面積とぬられていない部分の面積は 1 : 4 であるので、② 立体 X の体積 : 立体 Z の体積 = { 4 × (64/9) + 1 × (112/9 + 16/3) } : (4 + 1) = (4 × 64 + 112 + 16 × 3) : 5 × 9 = 416 : 45 が得られます。

今回の問題は、立体図形ではあるものの、平面図形の比較が多いので、解答にあるようにていねいに平面の図を描いていけば解ける問題だと思います。

むしろ、前問につまずいてパニックにならないことが重要で、落ち着いてこの問題を得点したいかなと思います。

最後に

さて、全5問が終わりました。物議をかもした第2問 (4) と 第4問 (3) はきびしいかもしれないので、それ以外の問題でどれだけ点数を取れるかの勝負になりそうです。

娘の経験で言えば、全く渋幕の対策を立てていませんでしたが、一般的な対策だけで合格しています。聞けばできない問題は捨てたと言っていました。(この年度ではありませんが。)

(注) 渋幕を本命にしている方には大変申し訳なかったのですが、1/22の渋幕は1/14の併願校と2/1の本命校の間の日程があくための調整という意味合いでした。
そのようなわけで、本命校優先で渋幕の対策はいっさい立てませんでした。唯一、コンパスの使い方を除いて(第1回では出されていないですが)。

いたずらに難しい問題に手を出す必要はなさそうですので、(難関校のレベルで)標準的な問題を確実に取ることを心がけるべきでしょう。その意味で第1, 3問全問と第2, 4, 5問の取れる問題を取りたいところです。