[ 数学 ] 3つの自然数 p, p+10, p+20 がすべて素数となるような p がただ１つ存在することを示せ | 信州大学
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問題
3つの自然数 p, p+10, p+20 がすべて素数となるような p がただ１つ存在することを示せ。
証明
1. p = 2 の場合
$${p+10 = 12}$$ は素数ではない。
2. p = 3 の場合
$${p+10 = 13, p+20 = 23}$$ となり、いずれも素数である。
3. p ≥ 5 の場合
3で割った余りで場合分け
$${p = 3m}$$ (mは自然数) のとき：pは3の倍数となり、素数ではない。
$${p = 3m + 1}$$ (mは自然数) のとき：$${p+20 = 3(m+7)}$$となり、3の倍数で素数ではない。
$${p = 3m + 2}$$ (mは自然数) のとき：$${p+10 = 3(m+4)}$$となり、3の倍数で素数ではない。
4. まとめ
上記の考察から、p = 3 のときのみ、p, p+10, p+20 がすべて素数となることがわかる。
よって、3つの自然数 p, p+10, p+20 がすべて素数となるような p は、p = 3 ただ一つ存在する。
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