Pareto分布の基本的な性質

Introduction

サービスにおける各ユーザーの課金額の分布は、しばしば「べき乗則」に従うことが知られていて、
・2倍課金しているユーザーの数は1/2ª倍少なくなる。
・3倍課金しているユーザーの数は1/3ª倍少なくなる。
・同様に「b倍課金しているユーザーの数は1/bª倍少なくなる。」
傾向にあると言われています。（aの値はサービスによって変わる固有の値で、統計学では推定したいパラメータの一つなわけです。）

べき乗則はデータ分析ではよく見る確率分布の一つで、先程の課金額の分布に限らず、文章中の各単語の出現頻度の分布などアンケート解析や自然言語処理にも現れます。今回は、連続変数のべき乗則の分布として知られる「Pareto分布」とその基本的な性質を紹介しましょう。

基本的なこと

Pareto分布は、値の取り得る最小値mとべき乗の度合いαで特徴づけられる確率分布です。次のような確率密度関数で定義されます。

以下はR言語によるPareto分布の確率密度関数の実装とそのグラフの描画です。

# Pareto分布の確率密度関数
dpareto <- function(x, m, alpha){
 dens <- (x >= m) * alpha * m^(alpha) * x^(-(alpha + 1))
 return(dens)
}

# グラフの描画（最小値パラメータmが1の場合のグラフ）
curve(dpareto(x, m = 1, alpha = 1), from = 0, to = 5, 
      xlab = "x", ylab = "確率密度", ylim = c(0, 3.2), col = "red", n = 10001)
curve(dpareto(x, m = 1, alpha = 2), col = "green", add = TRUE, n = 10001)
curve(dpareto(x, m = 1, alpha = 3), col = "blue", add = TRUE, n = 10001)
legend(x = 3, y = 2.5, legend = c("alpha=1", "alpha=2", "alpha=3"), 
       col = c("red", "green", "blue"), lty = c(1, 1, 1))

べき乗パラメータαが小さいほどfat tailになりやすいことが分かります。より詳細な性質を次の問題で確認してみましょう。

問題

解答