勝率とウデマエptの関係 (バンカラマッチ)
シーズン2用の追記 (2022/12/1)
シーズン2からチャレンジ挑戦に必要なウデマエptが増えたため、計算結果が変わった。変更点を簡単にまとめる。
収支プラスになる勝率 : 約42% (シーズン1) → 約47% (シーズン2)
勝率50%の場合
1セットの収支期待値 : 約+40p (シーズン1) → 約+20p (シーズン2)
1セットの期待試合数・勝敗パターンについては変化なし
1セットの期待試合数 : 5.3試合
終了パターン : 3敗 (77%) >> 5勝 (23%)
2勝以下 (50%)
昇格戦の成功率については変化なし
以下の内容はシーズン1のもの。しかし、考え方や計算方法は同じなので、残しておく。
以前、チャレンジとオープンの効率比較記事を書いた。分かりやすさのために、3敗するまでに2勝・3勝・4勝するパターンを抜き出して検討した。しかし実際は、勝敗の順番・1セットあたりの試合数などの要素があって、もう少し複雑だ。(結論だけ知りたい方は、記事の最後へ)
例題 : 5勝2敗
複雑といっても、1セットの結果を左右するのは、プレイヤーの勝率と表彰状況だけだ。それさえ決めてしまえば、1セット挑戦した時のウデマエptの期待値が計算できる。
例えば、5勝2敗したパターンについて計算してみる。
(高校数学Aレベルなので、知識がある人が納得できるように、計算過程を残しておく)
前提 (S+) : 参加費 (-160p), 5勝 (+300p), 金表彰 (+5p), 銀表彰 (+1p)
仮定
勝率 : 55%
表彰状況 : 平均2.5個獲得し、その70%は金表彰
パターン : 5勝2敗
Q1. 5勝2敗のうち、最後の試合で勝つ組み合わせは何通りか？
6戦目まで4勝2敗となる組み合わせ、つまり6戦のうち4勝するタイミングの選び方になるので、
₆C₄ = 15 通り
Q2. 勝率55%のプレイヤーが特定の順番で5勝2敗する確率は？
勝つ確率が55% (0.55)、負ける確率が45% (0.45) で、それぞれ5回・2回ずつなので、
0.55⁵ × 0.45² ≒ 0.01 (1%)
Q3. 勝率55%のプレイヤーが最後の試合で勝って5勝2敗になる確率は？
Q1の15通りのパターンが、それぞれQ2の1% (0.01) の確率で生じるので、
0.01 × 15 = 0.15 (15%)
Q4. 1試合あたりの表彰ポイントは？
金表彰 : 5 × 2.5 × 0.7 ... 5pのものが2.5個中の70%に含まれる
銀表彰 : 1 × 2.5 × 0.3 ... 1pのものが2.5個中の30%に含まれる
= +9.5p
Q5. 5勝2敗したときのウデマエptの収支は？
参加費 -160p
5勝 +300p
表彰ポイント +9.5p × 7試合
= +206.5p
例題まとめ
これで、このパターンが起こる確率とウデマエpt収支が分かった。
確率 15% (Q3)
ウデマエpt収支 +206.5p (Q5)
これをすべての勝敗パターンで行い、1セット挑戦した時のウデマエptの期待値を計算できる。
期待値 =
パターンAの確率 × パターンAのpt
+ パターンBの確率 × パターンBのpt
+ ...
勝率とウデマエpt期待値の関係
この計算方法で、勝率とウデマエpt期待値 (1セット) のグラフを作ってみた。
グラフ1 : 勝率5%から95%まで、5%刻みでプロットしたグラフ
グラフ2 : 勝率35%から60%まで、細かくプロットしたグラフ
(とくに収支がプラスマイナスゼロになる勝率42%付近は1%刻み)
勝率40%ちょっとあれば、ウデマエptの収支プラスになる
(= いつか昇格戦に到達できる)勝率70%ぐらいまでは、ウデマエptの期待値は直線的に増える
(それ以降は伸びが緩やかになる)
さらに、最も多いであろう勝率50%の場合について詳しく見てみる。
1セットで +40p が期待値 (5.3試合)
パターン
1勝3敗 = 2勝3敗 (18%) > 3勝3敗 (15%) > 0勝3敗 (12%) ≧ 5勝2敗 = 4勝3敗 (12%) > 5勝1敗 (8%) > 5勝0敗 (3%)
3敗する確率 (77%) >> 5勝する確率 (23%)
2勝以下の確率50%
つまり、勝率50%前後のS+プレイヤーは、8セットぐらい・40試合ぐらいでウデマエが+1される (+300p) と考えておけば良さそうだ。
(おまけ : 昇格戦の成功率)
ほぼ同じ方法で、勝率と昇格戦の成功率 (昇格確率) のグラフを作ることができる。
勝率50%より低い人は、普段の勝率よりも昇格しにくい
勝率50%より高い人は、普段の勝率よりも昇格しやすい
勝率50%のプレイヤーでも昇格確率は50% (昇格戦の半分は失敗する)
せっかくたどり着いた昇格戦なのだから、80%以上ぐらいの確率で通してほしい気持ちになるが、そうもいかないようだ。
結論
(※冒頭に書いたように、シーズン1時点の結論)
勝率40%ちょっとあれば、ウデマエptは収支プラス
勝率50%なら1セットで+40pが期待値
勝率50%なら昇格戦の成功率は50%
ただし、これはすべての試合が独立している (直前の試合に影響されない) という前提の計算になる。「同じチームで続ける！」という選択がとれるので、現実とは違う。そのせいか、体感では期待値よりも上下に大きくブレる印象がある。勝率30%台の日もあれば、70%台の日もある。
いずれにしても、この計算は不安解消ぐらいにしか役立たない。つまり、ウデマエptの期待値や、昇格成功率を知ったところで、次の試合に勝とうと全力を尽くすのには変わりないからだ。
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