【算数・数学備忘録257】

標本平均の分布

母集団から大きさnの標本を無作為に
抽出する事を考えて、その標本の変量の値を
X1,X2,X3,Xnとするときにその平均 x̄ とする。

x̄ = X1 + X2 + X3・・・・Xn/nを標本平均という。
標本平均 x̄は確率変数である。

標本平均の期待値、分散、標準偏差

母平均m、母分散σ^2、母標準偏差σの母集団から大きさnの標本を無作為に復元抽出する時、標本平均 x̄ の期待値E( x̄ )、分散V( x̄ )、標準偏差σ( x̄ )はE( x̄ )=m V( x̄ ) =σ^2/n σ( x̄ ) = σ/√nとなる。

母平均30、母分散20、母標準偏差2√5の母集団から大きさ5の標本を無作為に復元抽出するときに標本平均 x̄ の期待値E( x̄ )、分散V( x̄ )、標準偏差σ( x̄ )を求める。

母平均m 、母分散σ^2 、母標準偏差σの母集団から大きさnの標本を無作為に復元抽出する。

標本平均 x̄ の期待値E( x̄ )、分散V( x̄ )、標準偏差σ( x̄ )は
E( x̄ )=m V( x̄ ) =σ^2/n σ( x̄ ) = σ/√nを用いる。

m = 30、　σ^2 = 20 σ = 2√5 n=5をそれぞれ代入する。

E( x̄ )=30
V( x̄ ) =σ^2/n = 20/5 =4
σ( x̄ ) = σ/√n = 2√5/√5 = 2