差分和分について②【和分】

和分

定和分

$${a,b\in\mathbb{Z},a < b}$$として、関数$${f(x)}$$の定和分を$${\displaystyle\sum_{k=a}^{b-1}f(k)}$$で定義し、$${\displaystyle\sum_a^bf(x)\delta x}$$とかく。

定和分のイメージ

$${f(x)}$$の定和分について、幅$${\delta x=1}$$、高さ$${f(x)\,\,\,(x=a,a+1,\cdots,b-1)}$$の長方形の面積を足し合わせたものというイメージでいいと思います。(高さは、各長方形の左側を採用しているので、足し合わせるのは$${a}$$から$${b-1}$$までの範囲になっている。定和分の区間の表記は、下端と上端を示すために$${a}$$から$${b}$$としている。)

$${a=b}$$の場合、すなわち$${\displaystyle\sum_a^a f(x)\delta x}$$の値は$${0}$$と定義する。(足し合わせる長方形が無いので)

不定和分

$${f(x)}$$について、$${\Delta F(x)=f(x)}$$をみたす$${F(x)}$$を、$${f(x)}$$の不定和分とよび、$${\displaystyle\sum f(x)\delta x}$$とかく。このとき、$${C}$$を任意の定数として

$$
\sum f(x)\delta x=F(x)+C
$$

が成り立つ。$${C}$$を和分定数とよぶ。

不定和分の具体例

• $${\displaystyle\sum1\delta x=x+C}$$

• $${\displaystyle\sum x\delta x=\frac{x(x-1)}{2}+C}$$

• $${\displaystyle\sum a^x\delta x=\frac{a^x}{a-1}+C}$$

• $${\displaystyle\sum2^x\delta x=2^x+C}$$

右辺の差分を計算して、左辺の被和分関数と一致することを確認してみてください。和分を導入しました。次は、差分和分学の基本定理です。