覚えない！ベクトル解析の公式シリーズ【準備編】

はじめに

ベクトル解析で登場する大量の公式を、暗記をするのではなく、必要に応じてその場で導出できるようにする試みです。いくつか新しい概念を導入するので、少し覚えることはありますが、主要なベクトル解析の公式を丸暗記することに比べれば、とても楽になると思います。

クロネッカーのデルタδ

$${\delta_{\mu\nu}}$$を次のようにして定義する．

$$
\delta_{\mu\nu}=

\left\{

\begin{array}{cc}

1&(\mu=\nu)\\

0&(\mu\neq\nu)

\end{array}

\right.

$$

これをクロネッカーのデルタと呼ぶ。ここで、次が成り立つ。

$$
\delta_{\mu\nu}=\delta_{\nu\mu}

$$

添え字の値が，同じなのか異なっているのかだけに興味があるので，添え字は入れ替えても大丈夫。

エディントンのイプシロンε

$${\varepsilon_{\lambda\mu\nu}}$$を次にようにして定義する。

$$
\varepsilon_{\lambda\mu\nu}=

\left\{

\begin{array}{cc}

+1&((\lambda,\mu,\nu)\text{が}(1,2,3)\text{の偶置換})\\

-1&((\lambda,\mu,\nu)\text{が}(1,2,3)\text{の奇置換})\\

0&(\mathrm{other})

\end{array}

\right.
$$

これをエディントンのイプシロンと呼ぶ。

偶置換・奇置換について

偶置換・奇置換がややこしいので、$${\varepsilon_{\lambda\mu\nu}}$$の添え字$${\lambda,\mu,\nu}$$について

$$
\lambda\to\mu\to\nu\to\lambda\to\mu\to\nu\to\cdots
$$

と言い続けたときに，いつの間にか

$$
1\to2\to3\to1\to2\to3\to\cdots
$$

と唱えていたら，それは$${\varepsilon_{\lambda\mu\nu}=+1}$$

$$
3\to2\to1\to3\to2\to1\to\cdots
$$

と唱えていたら，それは$${\varepsilon_{\lambda\mu\nu}=-1}$$
それ以外は，全部$${\varepsilon_{\lambda\mu\nu}=0}$$

具体例

$${\varepsilon_{\lambda\mu\nu}}$$は，$${3^3=27}$$通り存在するが，そのほとんどがゼロ．

$$
\begin{align*}
\varepsilon_{123}=+1,\,\,

\varepsilon_{231}=+1,\,\,

\varepsilon_{312}=+1\\

\varepsilon_{321}=-1,\,\,

\varepsilon_{213}=-1,\,\,

\varepsilon_{132}=-1
\end{align*}
$$

上記以外は全部0
同じ添え字が複数回登場した時点で0

$$
\varepsilon_{111}=0,\,\,

\varepsilon_{232}=0,\,\,

\varepsilon_{133}=0,\cdots

$$

添え字の交換について

$${\varepsilon_{\lambda\mu\nu}}$$について

• 添え字を入れ替えることを「互換」という．

• 互換を偶数回したら符号は変わらない

• 互換を奇数回したら符号は$${(-1)}$$倍される．

• 互換を$${n}$$回行うと$${(-1)^n}$$が掛かる
  

例えば、以下のようになる。

$$
\varepsilon_{\mu\lambda\nu}=-\varepsilon_{\lambda\mu\nu},\,\,\varepsilon_{\mu\nu\lambda}=\varepsilon_{\lambda\mu\nu}
$$

縮約記法

縮約記法の導入

$${a=(a_1,a_2,a_3),\,b=(b_1,b_2,b_3)}$$とする (ここでは、ベクトルは基本的に3次元のものを考えます。) このとき，内積$${a\cdot b}$$は，

$$
a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3

$$

である．もう少し簡単にするために，$${\displaystyle\sum}$$を使って表現すると，

$$
a\cdot b=\sum_{i=1}^3a_ib_i
$$

とかくことができる．さらに簡単にするために，$${\displaystyle\sum_{i=1}^3}$$も省略してみる．つまり，

$$
a\cdot b=a_ib_i
$$

である．このような記法を，縮約(記法)と呼ぶことにする．

添え字のペアを見つけたら，その添え字について$${\displaystyle\sum}$$をとるということである．

縮約記法の具体例

$$
a_{\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{j}}b_{\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{j}}=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3a_{ij}b_{ij}
$$

二重和に対して縮約が用いられている場合もある．

$$
\delta_{\lambda i}a_i=\sum_{i=1}^3\delta_{\lambda i}a_i=a_\lambda

$$

$${\lambda}$$は何かしら固定された値で，$${i}$$は取りうるすべての値を動くので，$${i=\lambda}$$のときのみ値を持つ。

free indexとdummy index

• free index（自由指標）
  $${\delta_{\lambda i}a_i}$$の$${\lambda}$$みたいなやつ．自分で決められる，固定された，定数扱い，的な添え字のこと．

• dummy index（擬指標）
  $${\delta_{\lambda i}a_i}$$の$${i}$$みたいなやつ．取りうる値全てを動く添え字．定積分をするときの積分変数みたいなやつ．$${\displaystyle\int_0^1 f(x)dx}$$も$${\displaystyle\int_0^1 f(t)dt}$$も答えは同じ，みたいなやつ．

内積

$$
a\cdot b=\sum_{\mu=1}^3\sum_{\nu=1}^3\delta_{\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu}=\delta_{\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu}

$$

を証明してみる．$${\mu}$$を固定（free index）とみなすと，

$$
\delta_{\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu}=\delta_{\mu\mu}a_\mu b_\mu=a_\mu b_\mu=a\cdot b

$$

また、次も成り立つ。

$$
\begin{align*}
a\cdot b=&\delta_{\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu}\\

=&\delta_{\nu\mu}a_\nu b_\mu\,\,\,\text{(dummy indexの変更)}\\

=&\delta_{\mu\nu}a_\nu b_\mu\,\,\,\text{(デルタの添字の交換)}\\

=&\delta_{\nu\mu}a_\mu b_\nu\,\,\,\text{(dummy indexの変更)}
\end{align*}
$$

外積

外積$${a\times b}$$は，

$$

a\times b=\sum_{\lambda=1}^3\sum_{\mu=1}^3\sum_{\nu=1}^3\varepsilon_{\lambda\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu}e_\lambda=\varepsilon_{\lambda\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu}e_\lambda

$$

ただし，$${e_\lambda}$$は$${\lambda}$$方向の単位ベクトルである。ここで、

$$
a\times b=\sum_{\lambda=1}^3\sum_{\mu=1}^3\sum_{\nu=1}^3\varepsilon_{\lambda\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu}e_\lambda=\varepsilon_{\lambda\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu}e_\lambda

$$

を，$${\lambda}$$について書き下してみる（$${\displaystyle\sum}$$を使わずに書いてみる）と，

$$
\begin{align*}
a\times b&=\varepsilon_{1\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu}e_1+\varepsilon_{2\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu}e_2+\varepsilon_{3\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu}e_3\\

&=(\varepsilon_{1\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu},\varepsilon_{2\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu},\varepsilon_{3\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu})
\end{align*}
$$

したがって，$${a\times b}$$の第$${\lambda}$$成分は$${\varepsilon_{\lambda\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu}}$$とかける．

外積$${a\times b}$$の第$${\lambda}$$成分は，

$$

(a\times b)_{\lambda}=\sum_{\mu=1}^3\sum_{\nu=1}^3\varepsilon_{\lambda\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu}=\varepsilon_{\lambda\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu}

$$

dummy indexによる添え字の変更と互換による添え字の交換の違い

$$
\begin{align*}
(a\times b)_\lambda=\varepsilon_{\lambda\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu}&=\underbrace{\varepsilon_{\lambda\nu\mu}a_{\nu}b_{\mu}}_{\text{文字の変更}}\\
&=\underbrace{-\varepsilon_{\lambda\nu\mu}a_{\mu}b_{\nu}}_{\varepsilon\text{の添え字の互換}}
\end{align*}
$$

1行目の式は、dummy indexの$${\mu}$$を$${\nu}$$に、$${\nu}$$を$${\mu}$$に変更している。2行目の式は、$${\varepsilon}$$の添え字を互換で交換しているだけ。だから、マイナスが付く。

実際に外積を計算してみる

第1成分を実際に計算してみる。

$$
\begin{align*}
(a\times b)_1&=\varepsilon_{1\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu}=\sum_{\mu=0}^3\sum_{\nu=0}^3\varepsilon_{1\mu\nu}a_{\mu}b_{\nu}\\

&=\varepsilon_{123}a_{2}b_{3}+\varepsilon_{132}a_{3}b_{2}\\

&=(+1)a_{2}b_{3}+(-1)a_{3}b_{2}\\

&=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}
\end{align*}
$$

合ってそう！（$${1,2,3}$$を$${x,y,z}$$に読み替えてもOK）

εの積の展開公式

この後の証明の式変形で出てくるので，
$${\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\varepsilon_{\lambda\rho\sigma}}$$の展開公式を説明

$$
\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\varepsilon_{\lambda\rho\sigma} = \delta_{\mu\rho}\delta_{\nu\sigma} - \delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho}
$$

お気持ち、良く分かります (このネタもう古い？)

この式だけは、ごめんなさい。説明するのが大変そうなので、丸暗記です。

やっと準備が整いました。疲れました。次回をお楽しみに。

参考にさせていただいたもの

準備中...