覚えない！ベクトル解析の公式シリーズ【実践編⑤】

スカラ四重積

$$
\begin{align*}

&(a\times b)\cdot(c\times d)\\

=&(a\times b)_\lambda(c\times d)_\lambda\\

=&\varepsilon_{\lambda ij}a_ib_j\varepsilon_{\lambda kl}c_kd_l\\

=&(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk})a_ib_jc_kd_l\\

=&\delta_{ik}a_ic_k\delta_{jl}b_jd_l-\delta_{il}a_id_l\delta_{jk}b_jc_k\\

=&(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)

\end{align*}  
$$

したがって、

$$

(a\times b)\cdot(c\times d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)
$$

ベクトル四重積

$$

\begin{align*}

&[(a\times b)\times(c\times d)]_{\lambda}\\

=&\varepsilon_{\lambda\mu\nu}(a\times b)_{\mu}(c\times d)_{\nu}\\

=&\varepsilon_{\lambda\mu\nu}(\varepsilon_{\mu ij}a_ib_j)(c\times d)_{\nu}\\

=&\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\varepsilon_{\mu ij}a_ib_j(c\times d)_{\nu}\\

=&\varepsilon_{\mu\nu\lambda}\varepsilon_{\mu ij}a_ib_j(c\times d)_{\nu}\\

=&(\delta_{\nu i}\delta_{\lambda j}-\delta_{\nu j}\delta_{\lambda i})a_ib_j(c\times d)_{\nu}\\

=&(\delta_{\nu i}a_i\delta_{\lambda j}b_j-\delta_{\nu j}b_j\delta_{\lambda i}a_i)(c\times d)_{\nu}\\

=&b_\lambda\delta_{\nu i}a_i(c\times d)_{\nu}-a_\lambda\delta_{\nu j}b_j(c\times d)_{\nu}\\
=&b_\lambda\delta_{\nu i}a_i(c\times d)_{\nu}-a_\lambda\delta_{\nu j}b_j(c\times d)_{\nu}\\

=&b_{\lambda}\{a\cdot(c\times d)\}-a_{\lambda}\{b\cdot(c\times d)\}\\

=&[b\{a\cdot(c\times d)\}-a\{b\cdot(c\times d)\}]_{\lambda}

\end{align*}
$$

したがって，

$$
(a\times b)\times(c\times d)=b\{a\cdot(c\times d)\}-a\{b\cdot(c\times d)\}
$$

おわりに

準備中...

ハッピーハッピーハッッピー
ハピハピハピハピハピ