覚えない！ベクトル解析の公式シリーズ【実践編③】

勾配の回転

$$
\begin{align*}

[\nabla\times(\nabla\phi)]_\lambda=&\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\partial_\mu(\nabla\phi)_\nu\\

=&\underline{\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\phi}\\

=&-\varepsilon_{\lambda\nu\mu}\partial_\nu\partial_\mu\phi\,\,\,\text{(文字の互換と微分順序の交換)}\\

=&\underline{-\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\phi}\,\,\,\text{(文字の変更)}

\end{align*}
$$

これが何を意味しているのかというと，「$${x}$$について計算していった結果，$${x=-x}$$という結果が得られた」ということである．つまり$${[\nabla\times(\nabla\phi)]_\lambda=0}$$となる．したがって、

$$
\nabla\times(\nabla\phi)=\text{rot}\,\text{grad}\,\phi=0
$$

回転の発散

$$
\begin{align*}

\nabla\cdot(\nabla\times a)=&\partial_\lambda(\nabla\times a)_\lambda\\

=&\partial_\lambda\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\partial_\mu a_\nu\\

=&\underline{\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\partial_\lambda\partial_\mu a_\nu}\\

=&\varepsilon_{\nu\lambda\mu}\partial_\lambda\partial_\mu a_\nu\\

=&\varepsilon_{\nu\mu\lambda}\partial_\mu \partial_\lambda a_\nu\\

=&\underline{-\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\partial_\lambda \partial_\mu a_\nu}

\end{align*}
$$

これも，$${x=-x}$$みたいになったので，0になる。したがって、

$$
\nabla\cdot(\nabla\times a)=\text{div}\,\text{rot}\,a=0
$$

一応補足ですが、$${\varepsilon}$$は$${\partial}$$からみると定数なので、微分の外に出すことができます。逆に微分の中に入れることもできます。$${\delta}$$についても同様です。

回転の回転

$$
\begin{align*}

[\nabla\times(\nabla\times a)]_\lambda

=&\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\partial_\mu(\nabla\times a)_\nu\\

=&\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\partial_\mu\varepsilon_{\nu ij}\partial_i a_j\\

=&\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\varepsilon_{\nu ij}\partial_\mu\partial_i a_j\\

=&\varepsilon_{\nu\lambda\mu}\varepsilon_{\nu ij}\partial_\mu\partial_i a_j\\

=&(\delta_{\lambda i}\delta_{\mu j}-\delta_{\lambda j}\delta_{\mu i})\partial_\mu\partial_i a_j\\

=&\delta_{\lambda i}\partial_i\delta_{\mu j}\partial_\mu a_j-\delta_{\mu i}\partial_\mu\partial_i\delta_{\lambda j}a_j\\

=&\partial_\lambda(\nabla\cdot a)-(\nabla\cdot\nabla)a_\lambda\\

=&[\nabla(\nabla\cdot a)-(\nabla\cdot\nabla)a]_\lambda\\
=&[\nabla(\nabla\cdot a)-\nabla^2a]_\lambda
\end{align*}
$$

したがって、

$$
\begin{align*}
\nabla\times(\nabla\times a)=&\nabla(\nabla\cdot a)-\nabla^2a\\
=&\nabla(\nabla\cdot a)-\Delta a\\

\text{rot}\,\text{rot}\, a
=&\text{grad}\,\text{div}\, a-\nabla^2 a\\

=&\text{grad}\,\text{div}\, a-\Delta a
\end{align*}
$$

$${\Delta}$$はラプラシアンです。

少しテクニックが必要なものもありました。添え字の互換・文字の変更・微分順序の交換を行うことで、同じ形の異符号のものが導ければ、その値は0になるというものです。回転の回転については、ひたすら展開して計算するだけなので、慣れていればすぐに導けるようになります。イプシロンの積の展開公式だけは丸暗記なので、添え字の順番を間違えないようにしなければなりません。それでは次回もお楽しみに。