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書記が数学やるだけ#841 期待値の測度論的性質
期待値を測度論の言葉で言い換えていく。
問題
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説明
期待値をルベーグ積分で表していく。
![](https://assets.st-note.com/img/1719361743810-XCQX9562sv.png?width=1200)
可測関数・単関数について復習:
![](https://assets.st-note.com/img/1719361503454-ZJ9czBUz1O.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1719361568525-pdNzOXGwke.png?width=1200)
ルベーグ積分の定義について復習:
![](https://assets.st-note.com/img/1719361584138-1Si6aaZvol.png?width=1200)
ルベーグ積分の重要な定理(単調収束定理,ファトゥの補題,ルベーグの収束定理)について復習:
![](https://assets.st-note.com/img/1719361620963-TfNw0BR05f.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1719361663035-ovqP5olZSn.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1719361677462-9QyByFzfaV.png?width=1200)
最後にLp空間について:
![](https://assets.st-note.com/img/1719361697909-qbjg1XGJPo.png?width=1200)
解答
期待値への置き換えでは,∫をE[]と変換して,limとE[]が入れ替えできると考えれば良い。
![](https://assets.st-note.com/img/1719361799091-nJus3lxi7G.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1719361848978-qagLvAP9ir.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1719361865452-S3RfZH7PI6.png?width=1200)
期待値を計算する方法の一例を示す。なお本問では非負可測単関数で示したが,非負可測関数,可測関数と一般化することができる(スタンダード・マシン)。
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