書記が数学やるだけ#841 期待値の測度論的性質

期待値を測度論の言葉で言い換えていく。

問題

説明

期待値をルベーグ積分で表していく。

可測関数・単関数について復習：

ルベーグ積分の定義について復習：

ルベーグ積分の重要な定理（単調収束定理，ファトゥの補題，ルベーグの収束定理）について復習：

最後にLp空間について：

解答

期待値への置き換えでは，∫をE[]と変換して，limとE[]が入れ替えできると考えれば良い。

期待値を計算する方法の一例を示す。なお本問では非負可測単関数で示したが，非負可測関数，可測関数と一般化することができる（スタンダード・マシン）。

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