書記が数学やるだけ#730 多様体の向きづけ,単体・境界・鎖
多様体の向きづけ,および単体・境界・鎖について簡単に見ていく。
問題
説明
微分形式の座標変換はヤコビアンにより示される。ここで,多様体の積分は向きづけ可能なら座標によらない。
ヤコビアンから局所座標がわかり,向きづけ可能かどうかを判断することができる。
単体・境界・鎖について今回は簡単に確認しておく。
解答
微分形式から多様体の積分を考えていく。
座標変換則により式を整理し,ヤコビアンの中身が正(向きづけ可能)となる条件が不変となる条件である。
球面が向きづけ可能なことは見ればわかるが,計算では北極・南極2つの立体射影の交わりを考えていく。
メビウスの帯は向きづけ不可能の代表例といえる。計算では座標系が裏返っていることをヤコビアンで示す。
ここで単体について。
境界演算子について,境界の境界はないことが重要。
鎖から積分を定義するまでの流れを示す。
最後に単体の積分について,これは単なる計算問題である。
本記事のもくじはこちら:
学習に必要な本を買います。一覧→ https://www.amazon.co.jp/hz/wishlist/ls/1XI8RCAQIKR94?ref_=wl_share