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「0で割っちゃいけない」はウソ? 「0で割る」が許される世界の話

前回の記事で,「0で割る」という割り算がダメな理由を書きました.

詳しくは前回記事を読んでいただきたいのですが,端的に言えば,「0で割ったときに出てくる$${\infty}$$というやつが,都合が悪い存在だから」です.

でも,これを聞いて,「え,じゃあ数学で$${\infty}$$は出てこないの??」と疑問に思う人もいるのではないでしょうか.
今回は,その疑問への答えを書きたいと思います.


まず結論から言えば,数学で$${\infty}$$は出てきます.

「え,じゃあ$${\infty}$$は都合悪い存在じゃないの??…じゃあ$${0}$$で割ってもいいの??」
と思った方,正解です.数学では$${0}$$で割ることもあります.


ツッコミどころ満載な感じがしますよね?(笑)
でもこれ,実はそんなに変なことは言っていないんです.

ちょっと別の例を考えてみましょう.
小学生のとき,「小さい数-大きい数」という引き算はできないと習いませんでしたか?
これってなんでかと言うと,小学生は“負の数”を習っていないからです.$${-2}$$という数を習っていない小学生では,$${3-5}$$は計算できないじゃないですか.
だから,「小さい数-大きい数」という引き算はできないと習うんです.

これって別に小学生にウソを教えているわけではなくて,“小学校の算数”の中では,「小さい数-大きい数」という引き算はできないというのは本当のことですよね.

さて,中学校の数学ではなぜ「小さい数-大きい数」という引き算ができるようになるのかと言えば,“負の数”が定義されるからです.

さらに踏み込んだことを言うと,“負の数の計算”が定義されるからです.
どういうことかと言うと,例えば$${-1\times-1}$$みたいな計算って,小学生はどうやっていいかわからないじゃないですか.でも,中学校では$${-1\times-1=1}$$という計算を習うから,計算できるようになる.これが「“負の数の計算”が定義される」ということです.

計算が定義されることで負の数を扱うことができるようになり,数学の中で負の数が市民権を得る.
そして結果的に「小さい数-大きい数」という引き算ができるようになるのです.


話を「$${0}$$で割る」と$${\infty}$$に戻します.
上の例と同じように考えると,“$${\infty}$$の計算”を定義すればいいことになります.

これは負の数よりちょっと複雑なんですが…

①$${\infty}$$にどんな数を足し算しても答えは$${\infty}$$

②$${\infty}$$から普通の数を引き算しても答えは$${\infty}$$

③ただし,$${\infty-\infty}$$の答えは分からない(ケースバイケース)

③が少し不思議に感じるかもしれないですが,「超デカイ数から超デカイ数を引いたら$${0}$$になる」というときもあれば,「超デカイ数から超デカイ数を引いてもやっぱり答えも超デカイ」というときもあるんです.

とにかく,$${\infty}$$が絡む引き算には注意が必要なんですが,それさえ注意すれば$${\infty}$$を含む計算ができるようになります.
前回,$${\infty}$$が登場すると$${1=0}$$になるから都合が悪いと言いましたが,それも引き算に注意すれば解決することがわかると思います.


という感じで,定義しだいでは「$${0}$$で割る」が許されることもありますよ,という話でした.

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