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17種類の平面群（2次元空間群）壁紙模様★

17種類の2次元空間群（平面群，壁紙模様）の図を作図しました．このような図面を掲載した書物では，よく見るとどこかに誤りがあるものです．気に入りませんので，今回は全部書き直しました．この図を用いて，17種類の平面群から実際に80種類の層の空間群を具体的に導くことができます．単位胞は紫色に着色し，鏡映面は赤実線，映進面は赤破線で示しました．対称要素は重要なものを示し，すべてを記入することはわざとしてい

層の対称群★

皆様，2次元平面に裏表があると思いますか，ないと思いますか？
2次元とは厚み方向の次元のない世界ですから，表面だけがその実体です．従って，2次元は表面や裏面の区別のない世界，片側面だけ（単面）の平面と考えてください．この2次元平面を私たちの住む3次元世界に置いたとすると，表側面と裏側面の区別が生じます．

無限に広がる周期的な2次元平面（＝2次元結晶平面）とは，面内に２つの独立な並進ベクトル$${

壁紙模様の対称性とその心理効果

人間は様々な用途で無限に繰り返す平面パターンを使います：壁紙，寄せ木細工，タイルの床，瓦屋根，陶器や装飾石の壁，レンガや敷石，道路や広場の舗装，色織物，カーペットや編物，同一物の密な充填，金属やプラスチック板から標準物を大量に打ち抜く，その他の多くの分野で利用されます．

自然界の網目パターンは，魚の鱗，生体組織の細胞，ハチの巣，マツカサの鱗片，などの配列で見られます．特に興味深いのは，結晶中の，

繰り返し模様のまとめ

17種類の平面群の対称要素のマップとパターンを一覧にまとめます．

■17種類の平面群の対称要素のマップ

■17種類の平面群の非対称モチーフのパターン

繰り返し模様p6とp6mm

■第16のクラスは国際記号でp6，ロシア式記号で(a/a):6です．
表紙のエッシャーの作品は．この対称性です．トカゲの色は区別できないとすると，トカゲの左手が６つ集まっている点に6回軸があることを見出します．

以下のペルシャのパターン（Owen Jones）の例では，黒い6角形の内の花は厳密には6回対称ではありませんが，これを6回対称とみなすと，周りに風車がまわっているような6回軸の配列のパタ

繰り返し模様p3

壁紙模様の対称性の第13番目のクラスは，対称性3の図形を，60°で交差する２つの等価な並進軸(a/a)で並進して得られる．

国際記号でp3，ロシア式記号で(a/a):3です．今回から始まる残り５つの対称性のクラス（第13~17）は，正3角形のメッシュに属します．

等価な図形が隙間なく平面を充填しているこの対称性のパターンを以下に示します．モチーフ（非対称要素）は，正3角形メッシュ座標を作ってい

繰り返し模様p4gm

対称性の第11クラスです．国際記号p4gm，ロシア式記号(a:a):4･~a

このパターンは，4回対称の単位胞を，２つの等価な互いに直交する映進面で繰り返し広げて得られる．
縦，横の映進面~aは，群4･mに同型な，法による点群4･~aの4回軸を通る．

上の図はこの対称性のエジプトのパターンです．

縦，横の太い赤線は鏡映面．細い赤線は映進面．映進面の交点に4回回転軸がある．太い線の交点には2回

繰り返し模様p4mm

繰り返し模様の対称性の第12のクラスは，4･mの図形を正方形単純格子(a:a)で並進させて得られる．

この対称性は，交際記号でp4mm，ロシア式記号で（a:a):4･mと記述する．
この対称性のパターンの例は

基本モチーフタイル（非対称要素）は，単位胞の1/8です．

この対称性の日本の伝統模様はたくさんあります．
例えば，以下の七宝つなぎなどです．

イスラムの模様との交流もあったと思われま

繰り返し模様p4

繰り返し模様の対称性の第10のクラスは，国際記号でp4，ロシア式記号で(a:a):4です．単位胞の図形の対称性4を，直交する軸（従って，正方形のメッシュが格子）に沿って並進して得られるパターンである．(a:a):4で記述される．以下の２つのエジプト模様の例は，ちょっと見るとこの対称性のようですが，厳密には，この対称性を満たしません．

問　どこがいけないのか間違い探しをしましょう．

解答

上の

繰り返し模様pmm2

今回は，壁紙模様の第９のクラスです．国際記号でpmm2，ロシア式記号で（b:a):2･mです．

対称性2･mの単位胞図形を長方形の格子a軸，b軸で並進してパターンができます．
以下の図は，この対称性のパターンとはわずかに違うのですが，どこが違うかわかりますか？間違い個所を見つけてください．

例えば，ダイアモンドを頂点とする長方形が単位胞ですが，この単位胞の中身の対称性は，どうでしょうか．中心に

繰り返し模様cmm2

17種類の壁紙模様の対称性の第８クラスは，
国際記号でcmm2，ロシア式記号で(a/a):2･m　です．

点群2･mの図形を，並進の大きさは等しいが対称面(赤線)には斜交する軸（青線）(a/a)に沿って並進させて得られるので，(a/a):2･mと記述できる．
あるいは，面心格子c［黒いダイヤに注目すると面心格子が見えてきます］で，同じ点群2･mの図形を並進させると得られる．
菱形格子［単純格子］