数学月間

2021年2月28日 09:26

2次元アイソゴンとアイソヘドラ．寄せ木

アイソゴンisogonとは，どの頂点にも同じ数の辺が集まっている多面体に与えられた名前です．各頂点に集まる辺の様子が合同であるか鏡映対称であるような典型的なアイソゴンに興味を絞ります．典型的なアイソゴンの例には，すべての正多面体が含まれます．一般的なアイソゴンのすべての頂点は球面に乗り，球の半径が無限に大きくなると，球の表面は平面になります．半径が無限大の球に対応する典型的なアイソゴンを，平面アイ

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2021年2月27日 07:01

正則点系

点の多重度とその相対数の積の保存則　　　［訳者注）単位胞中に存在する原子の数によっては，対称性（多重度）によりその原子の存在できる場所が決まっつているという便利な性質が，構造解析のときに利用できる］

有限図形の点系（同価な点の系）に関して，対称（正則）の概念には，すでに出会っています．この概念を無限の平面図形に拡張するのは困難ではありません．何らかの無限の平面図形（下図173）が与えられたとしま

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2021年2月26日 11:04

平行多辺形とプラニゴン

寄せ木細工での利用

一つの図形を用いて，平面を隙間なく重なることもなく埋め尽くす課題にしばしば出会います．図形を互いに平行配置し平面を埋め尽すことができ，その図形がポリゴン［凸多角形］であれば，その図形は平行多辺形parallelogonと呼ばれます．任意の平行４辺形と，対辺が平行で等しい6辺形だけが，平行多辺形になれ，この他に平行多辺形はありません．こうして，次の８つの典型的な平行多辺形が作れ

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2021年2月25日 17:54

万華鏡でネットワークパターン

［訳者注］ここでは万華鏡で作るネットワークパターンについて述べているが，平面のタイル張りの対称性（5つのブラベー格子）が念頭にある．万華鏡は鏡の組み合わせで作られる対称性なので，そのうちの4つのブラベ格子が実現しうる．これらは格子の対称性そのもの（その格子で許される最も高い対称性）で完面像と呼ばれる．

完面像クラスの４つのパターンだけが万華鏡で作ることができる．これらは紙の折り畳みとカットにより

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2021年2月24日 12:03

紙からネットワークパターンを切り取る

ネットワークパターンをカットするためには、矩形，正方形，正3角形，正6角形の紙シートを使います．
初めの紙の形が矩形なら，紙のサイドに沿って半分に折るを繰り返し，折り畳んだ状態で切り込みを入れます．すると，対称面と2回対称軸のあるパターンが得られます（図 165）．［訳者注）この図形の対称性は2mmです．mは図形全域に有効な対称面ですが，この図形には局所的に有効な対称面があります．対称面は紙の折線

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2021年2月23日 17:40

索引：モワレ（モアレ）縞

■身のまわりで見られるモアレ（モワレ）

■実験

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2021年2月22日 21:03

モアレパターン発生の実験

今日はモアレの実験を行います．

まず，網目パターンを用意します．今回は，面心斜方格子［長方形格子の中心にも格子点のある複格子（2格子点胞）］を使います．この格子は，単純格子（1格子点胞）で解釈すれば，菱形格子に還元できます．この関係は下図を見るとわかるでしょう．

上図では，格子点に正3角形を配しました．配置した正3角形の対称要素と格子の対称要素を比較すると，共通な対称要素としては垂直方向の鏡映

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2021年2月21日 23:04

網目パターンの重ね合わせ２

２つの同一な網目パターンを種々の回転角度で重ねたときの干渉で，何が起こるか考察しよう．例として，長方形の中心にも格子点のある（面心斜方格子）（図110d）の頂点に円環を配置した網目パターンの系をとり上げる．

Fig.159：回転角小の間は二次的モザイク構造は，円環の一次構造を思わせる．

Fig.160：回転角が大きくなると，二次的像は一次の拡大像ではなくなる．二次的網目の対称性は，一次の網目

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2021年2月20日 21:46

網目パターンの重ね合わせ1

技術的な応用●ブラッグの法則 ●干渉

10cm×10cm程度の薄い布（ナイロン，カプロン，絹）を2枚重ねて，繊維が小さな角度（5°-10°）で交差するようにする．これを2枚のガラス板の間に挟み透過光で全体を観察すると，モアレパターンと呼ばれる自然界で広く見られる現象（科学技術で頻繁に利用される）が観察できる（図151）．モアレパターンの対称性乱れは，干渉を起こす重ねたネットの不完全性に起因するも

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2021年2月19日 22:52

壁紙模様の対称性とその心理効果

人間は様々な用途で無限に繰り返す平面パターンを使います：壁紙，寄せ木細工，タイルの床，瓦屋根，陶器や装飾石の壁，レンガや敷石，道路や広場の舗装，色織物，カーペットや編物，同一物の密な充填，金属やプラスチック板から標準物を大量に打ち抜く，その他の多くの分野で利用されます．

自然界の網目パターンは，魚の鱗，生体組織の細胞，ハチの巣，マツカサの鱗片，などの配列で見られます．特に興味深いのは，結晶中の，

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2021年2月18日 21:16

ピタゴラス４つ組数

竹内淳実（数学月間の会の会員）さんの，ピタゴラス数に関する投稿がありますので，ホームページhttp://sgk2005.saloon.jpに掲載しました．ここにその概要を紹介します．

■ピタゴラス3つ組数とは　A²＋B²＝C²　を満たす正の整数（A,B,C）のことです．図形で言うと直角3角形の３辺A,B,C（斜辺）で成立するピタゴラスの定理の整数解です．（3,4,5）は良く知られた例です．エジプ

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2021年2月17日 21:59

索引：トポロジー，次元

■　測地線

■　オイラー標数

■　時空の構造

■　弦理論

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2021年2月16日 06:16

人文科学のための数学2

図28 左は球状の生地、右はベーグルの生地。パン屋さんは、左の生地を取り、細長い円柱になるように巻き、（トポロジーでは、充填された円柱は充填された球と区別がつかない）曲げて、この円柱の端をつなぎました。そうして球がベーグルになってしまった...。止まれ、接着は不可（許されません）!　オブジェクトの種類が変更されます。
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私たちは、球の表面を取って曲げ、しわを寄せ、伸ばして

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2021年2月15日 02:00

人文科学のための数学1

https://elementy.ru/bookclub/book/813/Matematika_dlya_gumanitariev

Алексей Савватеев（A.S.）：今日は、トポロジーと呼ばれるものを扱います。多くの人が数学の中心的な分野であると考えています。数学はすべての科学の中心的な科学で、トポロジーは「中心中の中心」、つまり最も重要な分野のようです。トポロジーは20世紀初頭

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