可換環の定義〈龍孫江の環論道具箱〉

可換環というのは，龍孫江がずっと好きで学んで（学生時代にはちょっとだけ研究もして）きたものです．この環論道具箱では，主に可換環に絞って，その目的意識や道具立てを紹介していきたいと思います．

定義（環）

環（ring）とは下記なるものをいう：

• 器　集合 $${A \ne \emptyset}$$

• 機構　２つの２項演算 加法 $${+}$$，乗法 $${\cdot}$$，要素 $${0, 1 \in A}$$
  （ただし，$${0 = 1}$$の可能性はありうる）

• 公理系 

  • 加法・乗法はともに結合則をみたす
    $${(a+b)+c = a+(b+c)}$$，$${(ab)c = a(bc)}$$

  • $${0}$$は加法の，$${1}$$は乗法の単位元である
    $${0+a = a = a + 0}$$，$${a \cdot 1 = a = 1 \cdot a}$$

  • 任意の要素は加法に関する逆元をもつ
    $${a \in A}$$に対し，$${a+b = 0 = b+a}$$なる$${b \in A}$$が存在する

  • 加法は交換則をみたす
    $${ a+b = b+a}$$

  • 分配則が成り立つ
    $${a (b+c) = ab + ac}$$，$${(a+b) c = ac + bc}$$