交流回路を複素数平面で理解する

交流回路を複素数平面で理解する

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交流回路、これ結構難解で、高校生の時にわけわからなかった覚えがあります。実際、入試で出されてやられました。

今回高校物理の発展~大学生レベルでまとめてみます。

数Ⅲまでの知識でわかるように書きます。

何で困るのかな、と考えると、とにかく紛らわしいからではないでしょうか。

主に、このあたりの話で使われる素子は「抵抗」「コンデンサー」「コイル」の3つですね。

大学だと、コンデンサーをキャパシタ、コイルをインダクタと呼ぶことが多いです。

コンデンサーやコイルは電圧電流の位相が90度ずれたりします。あと、消費電力は0です。これらの性質を虚数で解決します

虚数単位は j とします。(iは電流を表して紛らわしいので)

コンデンサーやコイルも計算便宜上、普通の抵抗と同じように計算したいので、虚数をもった抵抗のように扱います。


コンデンサーが持つ定数は電気容量(キャパシタンス)C

コイルが持つ定数はインダクタンスL に対して

コイル、コンデンサーの抵抗もどきはそれぞれ

となります。

これを使えば、オームの法則を使ってコンデンサーやコイルを含む回路も計算できます。

たとえば、抵抗、コンデンサー、コイルを直列につなぐと、その抵抗もどきは

この大きさは実部と虚部の2乗の和で

高校の教科書にはこれが載っているのではないでしょうか。


次に語句を整理します。〇〇タンスを集めました。

R,X,Zは実数です。

R:レジスタンス X:リアクタンス Z:インピーダンス

といいます。(高校の教科書ではインピーダンスはさっきの、大きさで定義しているものが多いです。)

ちなみに単位はすべて[Ω](オーム)です。


また、大学では抵抗の逆数も使います。(つまり、電流の通しやすさ)

Y:アドミタンス G:コンダクタンス B:サセプタンス

単位はすべて[S](ジーメンス)です。



各素子が満たす微分方程式

V,Iを各素子にかかる電圧、電流とします。

抵抗について

これはオームの法則から当たり前ですね(微分方程式でもない)

コイルについて

コイルは電流が急に変化するのを嫌います。(電流を維持しようとする)(もっと言うならコイルを貫く時速が変化するのを嫌う=ファラデーの電磁誘導の法則ともつながっています)


コンデンサーについて

これだけ、Vに微分がかかっています。注意してください。


この微分方程式を組み合わせると回路の状態が収束するまでの電圧や電流を解析することができます。(過渡現象というやつです)


また何かあれば適宜内容を追加します。

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