BLOOD RECALLにおける確率論

0.はじめに

　カードゲームを遊ぶ上で、当然避けて通れないのは非公開の山札からカードをドローすることにより生まれるランダム性です。研究をする上で通れば強いルートを見つけるだけでは片手落ちで、そのルートがどの程度の確率で再現できるかというのも重要になってきます。
　特にこの記事で扱うBLOOD RECALLというゲームはおおむね3~4Tで決着するゲームのため、初動の確率というのはゲームにおいて非常に重要なファクターとなってきます。
　で、いちいちそれを頭の中で計算するのも面倒くさいので、ちゃんと形として出力しておこうと思い立ってこの記事を書いています。手っ取り早く結論だけ知りたいという人は2章だけ読めばいいと思います。なお、計算間違い等は一切保証しかねますのでそこはご承知おきください。

1.この記事の立ち位置

　BLOOD RECALLというゲームにおいて特に重要となる、初期デッキ状態での初動2ターンの手札についてをメインに確率計算し、その結果を記録するものです。
　当然ですが、ゲームのルールやカードの効果を理解していることを前提として記事は書かれています。

2.結論

　1ターン目および2ターン目の手札の確率は以下の通りになります。

(1) 手札3(ヒヒイロカネ、ニライカナイ(※)、シラガネ)

　一番太いのは斬撃1枚、赤血2枚の手札が2連続で来るパターンですが、それでも25.7%程度しかありません。また、いずれかのターンで斬撃3枚を引く(=ブラッドカードが獲得できない)可能性が6.6%程あります。特に自傷によるブラッドカード獲得が少ないシラガネは想起ができないリスクがあるため、リコールカードの選定は注意しましょう。
　※ニライカナイについては自傷でデッキトップが2枚血廻送りになるため、2T目の確率はズレます。

(2) 手札4(トツカマヂチ、アポイタカラ)

　1番太いのは斬撃2枚赤血2枚、斬撃1枚赤血3枚が来るパターンです。それぞれ22.9%ずつの確率となっており、順番を問わなければ45.8%の確率でブラッドカード3枚+自傷分の想起が最低でも保証される形となります。
　また、アポイタカラで【星宿】を使う際に、25%程度の確率で1ターンと2ターンの手札の内訳が偶数同志になります。逆に言うと、相手にリコール/無間の紫を送られたとしても、自傷によるワンドローでケアすることで25%程度の確率で1ターン2強化を維持することができます。

(3) 手札5(クトネシリカ、アポイタカラ+自傷)

　デッキが10枚のため、5枚ドローできるキャラクターは1ターン目時点で2ターン目の手札が確定します。一番太いのは当然ですが斬撃2枚赤血3枚のパターンで47.6%となります。クトネシリカと対面している場合、5割弱の確率で1ターン目2ターン目にリコール/葬送の黒を絡めた10打点が飛んでくる可能性があるのは頭に入れておいた方が良いでしょう。

3.確率計算編

　細かい考え方と計算方法について一応記載しましたが、基本読み飛ばしてもらっていいです。検算してもらえるとありがたいですが。
　BLOOD RECALLの初期デッキは斬撃(以降、白)4枚と、赤血(以降、赤)6枚で構築されています。

(1) 手札3枚　1ターン目

　まず、10枚のデッキから3枚のカードを無作為に抜き出すパターン数は、
　10C3 = (10*9*8)/(3*2*1) = 120通りになります。
　次に、手札の中身として考えられるのは4通りで、それぞれのパターン数と確率については以下の通りになります。
　① 白3枚 赤0枚
　　4枚の白から3枚を選び、6枚の赤から0枚を選ぶため、
　　4C3 * 6C0 = ((4*3*2)/(3*2*1)) * 1 = 4通りになります。
　　確率は4/120 * 100 ≒ 3.3%です。
　② 白2枚 赤1枚
　　4枚の白から2枚を選び、6枚の赤から1枚を選ぶため、
　　4C2 * 6C1 = ((4*3)/(2*1)) * (6/1) = 6*6 = 36通りになります。
　　確率は36/120 * 100 = 30%です。
　③ 白1枚 赤2枚
　　4枚の白から1枚を選び、6枚の赤から2枚を選ぶため、
　　4C1 * 6C2 = (4/1) * ((6*5)/(2*1)) = 4*15 = 60通りになります。
　　確率は60/120 * 100 = 50%です。
　④ 白0枚 赤3枚
　　4枚の白から0枚を選び、6枚の赤から3枚を選ぶため、
　　4C0 * 6C3 = 1 * ((6*5*4)/(3*2*1)) = 1*20 = 20通りになります。
　　確率は20/120 * 100 ≒ 16.7%です。

(2) 手札3枚　2ターン目

　10枚のデッキから3枚のカードがドローされた後なので、7枚のデッキから3枚のカードを無作為に抜き出すパターン数を考える必要があります。パターン数は、7C3 = 35通りになります。
　次に、手札の中身は1ターン目に引いた手札によって変動するため、それぞれのパターン数と確率については以下の通りになります。
　① 1ターン目　白3枚の場合
　　デッキの残りは白1枚、赤6枚となるため、
　　取り得るパターン数と確率は以下の通りです。
　　①-1 白1枚、赤2枚
　　　1枚の白から1枚を選び、6枚の赤から2枚を選ぶため、
　　　パターン数は15通りになります。
　　　確率は15/35 * 100 ≒ 42.9%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、3.3% * 42.9% = 1.4%です。
　　①-2 白0枚、赤3枚
　　　1枚の白から0枚を選び、6枚の赤から3枚を選ぶため、
　　　パターン数は20通りになります。
　　　確率は20/35 * 100 ≒ 57.1%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、3.3% * 57.1% = 1.9%です。
　② 1ターン目　白2枚 赤1枚の場合
　　デッキの残りは白2枚、赤5枚となるため、
　　取り得るパターン数と確率は以下の通りです。
　　②-1 白2枚、赤1枚
　　　2枚の白から2枚を選び、5枚の赤から1枚を選ぶため、
　　　パターン数は5通りになります。
　　　確率は5/35 * 100 ≒ 14.3%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、30% * 14.3% = 4.3%です。
　　②-2 白1枚、赤2枚
　　　2枚の白から1枚を選び、5枚の赤から2枚を選ぶため、
　　　パターン数は20通りになります。
　　　確率は20/35 * 100 ≒ 57.1%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、30% * 57.1% = 17.1%です。
　　②-3 白0枚、赤3枚
　　　2枚の白から0枚を選び、5枚の赤から3枚を選ぶため、
　　　パターン数は10通りになります。
　　　確率は10/35 * 100 ≒ 28.6%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、30% * 28.6% = 8.6%です。
　③ 1ターン目　白1枚 赤2枚の場合
　　デッキの残りは白3枚、赤4枚となるため、
　　取り得るパターン数と確率は以下の通りです。
　　③-1 白3枚、赤0枚
　　　3枚の白から3枚を選び、4枚の赤から0枚を選ぶため、
　　　パターン数は1通りになります。
　　　確率は1/35 * 100 ≒ 2.9%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、50% * 2.9% = 1.4%です。
　　③-2 白2枚、赤1枚
　　　3枚の白から2枚を選び、4枚の赤から1枚を選ぶため、
　　　パターン数は12通りになります。
　　　確率は12/35 * 100 ≒ 34.3%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、50% * 34.3% = 17.1%です。
　　③-3 白1枚、赤2枚
　　　3枚の白から1枚を選び、4枚の赤から2枚を選ぶため、
　　　パターン数は18通りになります。
　　　確率は18/35 * 100 ≒ 51.4%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、50% * 51.4% = 25.7%です。
　　③-4 白0枚、赤3枚
　　　3枚の白から0枚を選び、4枚の赤から3枚を選ぶため、
　　　パターン数は4通りになります。
　　　確率は4/35 * 100 ≒ 11.4%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、50% * 11.4% = 5.7%です。
　④ 1ターン目　白0枚 赤3枚の場合
　　デッキの残りは白4枚、赤3枚となるため、
　　取り得るパターン数と確率は以下の通りです。
　　④-1 白3枚、赤0枚
　　　4枚の白から3枚を選び、3枚の赤から0枚を選ぶため、
　　　パターン数は4通りになります。
　　　確率は4/35 * 100 ≒ 11.4%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、16.7% * 11.4% = 1.9%です。
　　④-2 白2枚、赤1枚
　　　4枚の白から2枚を選び、3枚の赤から1枚を選ぶため、
　　　パターン数は18通りになります。
　　　確率は18/35 * 100 ≒ 51.4%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、16.7% * 51.4% = 8.6%です。
　　④-3 白1枚、赤2枚
　　　4枚の白から1枚を選び、3枚の赤から2枚を選ぶため、
　　　パターン数は12通りになります。
　　　確率は12/35 * 100 ≒ 34.3%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、16.7% * 34.3% = 5.7%です。
　　④-4 白0枚、赤3枚
　　　4枚の白から0枚を選び、3枚の赤から3枚を選ぶため、
　　　パターン数は1通りになります。
　　　確率は1/35 * 100 ≒ 2.9%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、11.6% * 2.9% = 0.5%です。

(3) 手札4枚　1ターン目

　まず、10枚のデッキから4枚のカードを無作為に抜き出すパターン数は、
　10C3 = (10*9*8*7)/(4*3*2*1) = 210通りになります。
　次に、手札の中身として考えられるのは5通りで、それぞれのパターン数と確率については以下の通りになります。
　① 白4枚 赤0枚
　　4枚の白から4枚を選び、6枚の赤から0枚を選ぶため、
　　4C4 * 6C0 = 1 * 1 = 1通りになります。
　　確率は1/210 * 100 ≒ 0.5%です。
　② 白3枚 赤1枚
　　4枚の白から3枚を選び、6枚の赤から1枚を選ぶため、
　　4C3 * 6C1 = ((4*3*2)/(3*2*1)) * (6/1) = 4*6 = 24通りになります。
　　確率は24/210 * 100 ≒ 11.4%です。
　③ 白2枚 赤2枚
　　4枚の白から2枚を選び、6枚の赤から2枚を選ぶため、
　　4C2 * 6C2 = ((4*3)/(2*1)) * ((6*5)/(2*1)) = 6*15 = 90通りになります。
　　確率は90/210 * 100 ≒ 42.9%です。
　④ 白1枚 赤3枚
　　4枚の白から1枚を選び、6枚の赤から3枚を選ぶため、
　　4C1 * 6C3 = (4/1) * ((6*5*4)/(3*2*1)) = 4*20 = 80通りになります。
　　確率は80/210 * 100 ≒ 38.1%です。
　⑤ 白0枚 赤4枚
　　4枚の白から0枚を選び、6枚の赤から3枚を選ぶため、
　　4C0 * 6C4 = 1 * ((6*5*4*3)/(4*3*2*1)) = 1*15 = 15通りになります。
　　確率は15/210 * 100 ≒ 7.1%です。

(4) 手札4枚　2ターン目

　10枚のデッキから4枚のカードがドローされた後なので、6枚のデッキから4枚のカードを無作為に抜き出すパターン数を考える必要があります。パターン数は、6C4 = 15通りになります。
　次に、手札の中身は1ターン目に引いた手札によって変動するため、それぞれのパターン数と確率については以下の通りになります。
　① 1ターン目　白4枚の場合
　　デッキの残りは白0枚、赤枚6枚となるため、
　　100%の確率で赤4枚の手札になります。
　　1ターン目からの通しで考えると、0.5% * 100% = 0.5%です。
　② 1ターン目　白3枚 赤1枚の場合
　　デッキの残りは白1枚、赤5枚となるため、
　　取り得るパターン数と確率は以下の通りです。
　　②-1 白1枚、赤3枚
　　　1枚の白から1枚を選び、5枚の赤から3枚を選ぶため、
　　　パターン数は10通りになります。
　　　確率は10/15 * 100 ≒ 66.7%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、11.4% * 66.7% = 7.6%です。
　　②-2 白0枚、赤4枚
　　　1枚の白から0枚を選び、5枚の赤から4枚を選ぶため、
　　　パターン数は5通りになります。
　　　確率は5/15 * 100 ≒ 33.3%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、11.4% * 33.3% = 3.8%です。
　③ 1ターン目　白2枚 赤2枚の場合
　　デッキの残りは白2枚、赤4枚となるため、
　　取り得るパターン数と確率は以下の通りです。
　　③-1 白2枚、赤2枚
　　　2枚の白から2枚を選び、4枚の赤から2枚を選ぶため、
　　　パターン数は6通りになります。
　　　確率は6/15 * 100 = 40%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、42.9% * 40% = 17.1%です。
　　③-2 白1枚、赤3枚
　　　2枚の白から1枚を選び、4枚の赤から3枚を選ぶため、
　　　パターン数8通りになります。
　　　確率は8/15 * 100 ≒ 53.3%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、42.9% * 53.3% = 22.9%です。
　　③-3 白0枚、赤4枚
　　　2枚の白から0枚を選び、4枚の赤から4枚を選ぶため、
　　　パターン数は1通りになります。
　　　確率は1/15 * 100 ≒ 6.7%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、42.9% * 6.7% = 2.9%です。
　④ 1ターン目　白1枚 赤3枚の場合
　　デッキの残りは白3枚、赤3枚となるため、
　　取り得るパターン数と確率は以下の通りです。
　　④-1 白3枚、赤1枚
　　　3枚の白から3枚を選び、3枚の赤から1枚を選ぶため、
　　　パターン数は3通りになります。
　　　確率は3/15 * 100 = 20%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、38.1% * 20% = 7.6%です。
　　④-2 白2枚、赤2枚
　　　3枚の白から2枚を選び、3枚の赤から2枚を選ぶため、
　　　パターン数は9通りになります。
　　　確率は9/15 * 100 = 60%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、38.1% * 60% = 22.9%です。
　　④-3 白1枚、赤3枚
　　　3枚の白から1枚を選び、3枚の赤から3枚を選ぶため、
　　　パターン数は3通りになります。
　　　確率は3/15 * 100 = 20%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、38.1% * 20% = 7.6%です。
　⑤ 1ターン目　白0枚 赤4枚の場合
　　デッキの残りは白4枚、赤2枚となるため、
　　取り得るパターン数と確率は以下の通りです。
　　⑤-1 白4枚、赤0枚
　　　4枚の白から4枚を選び、2枚の赤から0枚を選ぶため、
　　　パターン数は1通りになります。
　　　確率は1/15 * 100 = 6.7%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、7.1% * 6.5% = 0.5%です。
　　⑤-2 白3枚、赤1枚
　　　4枚の白から3枚を選び、2枚の赤から1枚を選ぶため、
　　　パターン数は8通りになります。
　　　確率は8/15 * 100 ≒ 53.3%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、7.1% * 53.3% = 3.8%です。
　　⑤-3 白2枚、赤2枚
　　　4枚の白から2枚を選び、2枚の赤から2枚を選ぶため、
　　　パターン数は6通りになります。
　　　確率は6/15 * 100 = 40%です。
　　　1ターン目からの通しで考えると、7.1% * 40% = 2.9%です。

(5) 手札5枚　1ターン目

　まず、10枚のデッキから5枚のカードを無作為に抜き出すパターン数は、
　10C3 = (10*9*8*7*6)/(5*4*3*2*1) = 252通りになります。
　次に、手札の中身として考えられるのは5通りで、それぞれのパターン数と確率については以下の通りになります。
　① 白4枚 赤1枚
　　4枚の白から4枚を選び、6枚の赤から1枚を選ぶため、
　　4C4 * 6C1 = 1 * (6/1) = 6通りになります。
　　確率は6/252 * 100 ≒ 2.4%です。
　② 白3枚 赤2枚
　　4枚の白から3枚を選び、6枚の赤から2枚を選ぶため、
　　4C3 * 6C1 = ((4*3*2)/(3*2*1)) * ((6*5)/(2*1)) = 4*15 = 60通りになります。
　　確率は60/252 * 100 ≒ 23.8%です。
　③ 白2枚 赤3枚
　　4枚の白から2枚を選び、6枚の赤から3枚を選ぶため、
　　4C2 * 6C2 = ((4*3)/(2*1)) * ((6*5*4)/(3*2*1)) = 6*20 = 120通りになります。
　　確率は120/252 * 100 = 47.6%です。
　④ 白1枚 赤4枚
　　4枚の白から1枚を選び、6枚の赤から4枚を選ぶため、
　　4C1 * 6C3 = (4/1) * ((6*5*4*3)/(4*3*2*1)) = 4*15 = 60通りになります。
　　確率は60/252 * 100 ≒ 23.8%です。
　⑤ 白0枚 赤5枚
　　4枚の白から0枚を選び、6枚の赤から5枚を選ぶため、
　　4C0 * 6C4 = 1 * ((6*5*4*3*2)/(5*4*3*2*1)) = 1*6 = 6通りになります。
　　確率は6/252 * 100 ≒ 2.4%です。

(6) 手札5枚　2ターン目

　10枚のデッキから5枚のカードがドローされた後なので、2ターン目の手札は1ターン目の手札内容によって確定します。具体的には、以下のようになります。
　①1ターン目　白4枚 赤1枚の場合　→　白0枚 赤5枚で確定となります。
　②1ターン目　白3枚 赤2枚の場合　→　白1枚 赤4枚で確定となります。
　③1ターン目　白2枚 赤3枚の場合　→　白2枚 赤3枚で確定となります。
　④1ターン目　白1枚 赤4枚の場合　→　白3枚 赤2枚で確定となります。
　⑤1ターン目　白0枚 赤5枚の場合　→　白4枚 赤1枚で確定となります。

4.おわりに

　BLOOD RECALLで重要となる開始から2ターン目までの基本的な手札の確率について計算しましたが、実際にはニライカナイやアポイタカラの自傷効果、リコールカードによるドローもありますので、実戦ではより複雑になります。また、3ターン目以降は想起したカードがリシャッフルで入る可能性があるため、パターンの分岐は一気に増えます。なので、この記事で解説している内容は期待値を考える際の入り口程度に思っていただければ。
　次は気が向いたらニライカナイの自傷効果込みでの確率や、ヒヒイロカネでリコール/超克の桜を2ターン連続で想起できる確率など、想定ケースごとに確率計算をしてみようかなと思います。