【高校と大学の狭間の学問１】大学入試で問われる背景知識：デジタル・アナログと近似と円周率、そして、微分・積分
数学と哲学の関係、
微分・積分と差分・和分、
伝説の東大入試問題をからめて、
大学入試で求められる ”常識” について書いていく。
【数学・哲学と学問の背景】
微分・積分＝解析学って、
数学として面白い分野であるだけでなく、
哲学として面白い分野であると思う。
そもそも、
数学や物理、生物学、天文学、神学、哲学など全ての学問は古くは
もともと philosophy（哲学）＝philos（愛）＋sophia（知）という意味で、
思索を巡らす人間の知的活動として包括されていたものだ。
１０月２９日は積分記号が用いられた日だったらしく、
それについて考えていた。
アイザック・ニュートンは非常に有名で、自然哲学者、数学者、物理学者、天文学者、神学者として知られ、主な業績としてニュートン力学の確立や微積分法の発見がある。（Wikipediaより引用改変）
一方、ライプニッツは、理系界隈では有名であるが、ニュートンほどの知名度はないだろう。哲学者、数学者、科学者など幅広い分野で活躍した学者・思想家として知られているが、政治家・外交官でもあり、微積分法の開発や微積分記号の考案のほか、哲学や法学でも活躍している。（Wikipediaより引用改変）
そして、先日、
これらについて巡らせた思いを
数学、哲学、麻雀、円周率、デジタルとアナログなどと絡めて
とりとめなくフリーザスタイルでつぶやいていたのだが、
１０連投のちょっとしたうざいつぶやきになってしまった。
（１０連投の１個目からはこちら）
あまりにもとりとめなかったが、
この一連の考え方は、
自然科学において重要であるだけでなく、
大学教養レベルの前提知識（大学から見た”常識”）として、
今までのセンター試験をはじめ多くの大学入試問題で採用されおり、
ここで一旦、記事としてまとめることとした。
（それを大学入学時に身につけているかはともかく）
少なくとも、
大学入試で題材として取り上げられるということは、
大学の教授となるようなインテリな方々にとって、
大学入学に当たり身につけて欲しい「常識」の１種なのだと考えられる。
【東大で出題された伝説の１問：π > 3.05 の証明】
僕が受験生の頃、
東京大学の入試問題で、
円周率が 3.05 より大きいことを示す問題が出た。
当時は円周率を「３」で教えることが導入されようとしており、
それに対するアンチテーゼとしての問題と考えられている。
さして難しくないが、
一般的に正八角形を円に近似する解法が用いられるが、
15°の sin, cos の計算を要する。
他の解法をするにしても、
何らかの近似をすることが求められる。
２浪目でやったこちらの問題集（？）でも
取り上げられている。
円は滑らかな曲線から構成され、
円周率（π）は正円の直径と円周の比率であり、
その比率を求めるには、
連続的形状を示す円を、
断続的形状を示す他の図形に近似する必要がある。
近似を用いた複数の解法が以下のウェブサイトに掲載されている。
① 単位円を用いて、正八角形に近似
② 半径 5 の円を用いて、ちょうどいい交点を使って近似
③ 正二十四角形を用いた面積の近似で考える
④ 台形の面積を組み合わせて近似
【近似はデジタルをアナログに変換する作業】
デジタル＝断続的とアナログ＝連続的は対義語である。
これは差分・和分と微分・積分の関係と相同である。
前回の記事の中で示した、
短冊状の長方形を足していけば
三角形の面積に近似できる、という現象をみていく。
このように長方形を足すのは
デジタル＝断続的な手法であり、
近似であるのだが、
余剰な面積が生じる。
Δx を極限まで「0」に近づければ、
余剰な面積が徐々に消失し、
三角形に限りなく近づく。
【差分和分学のわかりやすい note 記事を発見】
上記の僕の過去記事に「スキ」してくれた人を覗いてみると、
もっと素敵な記事を書いている noter さん【ふくま】さんに出会った。
ブログではもっと難しいことを書かれている。
興味ある方は是非みにいってほしいと思う。
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