【明治大学現象数理学科向け】微積分I

※あくまで、大学の公式ではなく、ひとりの3年生としての老婆心からのアドバイスです。

1. 概要

1変数の微積分について扱う。できるようになってほしいのは高校の数Ⅲ+逆三角関数+テイラー展開・広義積分。逆三角関数は、三角関数の逆関数のこと。テイラー展開は、初等関数を多項式で近似させる手段のことを言う。

2.  予習するとしたら

予習というと難しめだが、高校数学(特に数学Ⅲ)の復習は絶対にやっておいた方がよい。後期も含め微積分の単位が取れてない人は、高校数学における極限の理解や微分公式・不定積分がちゃんとできてない。裏を返せば、数Ⅲの青チャートとかを全て(演習問題もな!)解けるようになってるような人なら、微積分Iは好成績を取れるだろう。

そして、自分の好きな本で予習してみるのは良い経験かもしれない。予習は効果ないという人もいるが、【自分の飛び込んだことがない領域に飛び込む】という経験は、大学生活をものすごく価値のあるものにしてくれるだろう。

3. 復習するとしたら

大学の微積分は、論理や集合をもとに授業が展開される。そのため、教科書を読んでつまずいたときは【数理リテラシー】の教科書やノートをしっかり読み込んでおくとよいだろう。そして、授業中に提示された問題に関しては、スラスラ解けるようにしておいたほうがよいだろう。

大学の授業は、必ず1週間の間が空いてしまう。そこで、せっかくの経験値がリセットされてしまっては高い授業料がもったいない。

4.演習問題は解いた方が良いの?

基本的に、教科書の後ろの演習問題は、計算が煩雑になったり解説が雑だったりしてあまり解きやすいものではない。ゆえに高得点を狙う人は『大学院への微積分』『演習 微分積分』などを使うと良いだろう。

そして、これは高校数学でも言えたことだが「しっかりと筋道の立った解答」を作れるようになってほしい。数学の解答では日本語ができなくても良いなどという不思議な人がよくいるが、そんなはずはない。解答を読んだ人に対して、自分の理解を誤解なく伝えるということは非常に重要な技術である。

5.高校数学となにが違うの?

まずは、議論の組み立て方が全然違う。数列の極限の前に、「実数とは何か」から始まる。実数と有理数はどう違うかとか。詳しくは『解析入門』(杉浦)などを読んでほしい。そして、数列の極限に関しても「イプシロンデルタ論法」を用いて、しっかりとした定義を与える。なにをもって「しっかりとした」なのかというと、高校数学における極限の操作では不都合なことがいくつか(たくさん?)生じる。それを回避できるように定義をし直すわけだ。

注意してほしいのは高校数学がダメだといっているわけではない。例えば、甲子園球児がプロになるときにファームを直したりトレーニングを組み立てたりする。「イプシロンデルタ論法」というのはいわば、【プロとして通用していくための基礎練習】である。私もまだ全然であるが、数学を専門にするとはそういうことなのである。



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