【量子力学】 同時固有状態と交換可能

更新 2024/9/14

物理量 $${A, B}$$ の演算子をそれぞれ $${\hat{A}, \hat{B}}$$ とすると, 

$$
\hat{A}, \hat{B} の同時固有状態が存在する \iff [\hat{A}, \hat{B}]=\hat{0}.
$$

1. 十分性の証明

---

　 $${\implies}$$ を示す. まず, $${A, B}$$ の同じ固有状態 $${\varphi_{a_ib_j}}$$ において固有値方程式

$$
\hat{A} \varphi_{a_ib_j}=a_i\varphi_{a_ib_j}\\
\hat{B} \varphi_{a_ib_j}=b_j\varphi_{a_ib_j}
$$

が成立する. よって, 

$$
\tag{1} \hat{B}\hat{A} \varphi_{a_ib_j}=\hat{B}(a_i\varphi_{a_ib_j})=a_i\hat{B}\varphi_{a_ib_j}=a_ib_j\varphi_{a_ib_j}
$$

$$
\tag{2} \hat{A}\hat{B} \varphi_{a_ib_j}=\hat{A}(b_j\varphi_{a_ib_j})=b_j\hat{A}\varphi_{a_ib_j}=b_ja_i\varphi_{a_ib_j}.
$$

(1), (2) より, 辺々引くと, 

$$
\tag{3} (\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A})\varphi_{a_ib_j}=0. 
$$

この (3) 式は, $${i, j}$$ を問わず, 完全系をなす全ての関数 $${\varphi_{a_ib_j}}$$ に対して成立するので, 

$$
\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}=[\hat{A}, \hat{B}]=\hat{0}.
$$

よって, 示された. 

2. 必要性の証明

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　 $${\impliedby}$$を示す. まず

$$
\tag{4} [\hat{A}, \hat{B}]=\hat{0}. 
$$

2-1. 縮退がない場合

$${\hat{B}}$$ の固有状態を $${\varphi_{ab}}$$ とすると, 

$$
\tag{5} \hat{B}\varphi_{ab}=b\varphi_{ab}.
$$

$$
\tag{6}
\begin{equation}
\begin{split} \therefore \hat{B}\hat{A}\varphi_{ab} &=\hat{A}\hat{B}\varphi_{ab}   (\because (4))\\
&=b\hat{A}\varphi_{ab}.   (\because (5))
\end{split}
\end{equation}
$$

この (6) 式は, $${\hat{A}\varphi_{ab}}$$ が $${\hat{B}}$$ の固有状態であることを表しているが, 今縮退がない, つまり $${b}$$ に対して $${\hat{B}}$$ の固有関数が1個のみなので, (5) 式のように書ける必要があり, 

$$
\hat{A}\varphi_{ab}\varpropto\varphi_{ab}.
$$

ということは, 定数倍は許されて, 

$$
\tag{7}\therefore\hat{A}\varphi_{ab}=a\varphi_{ab}
$$

と書ける. この定数 $${a}$$ こそが $${\hat{A}}$$ の固有値に他ならないので, $${\varphi_{ab}}$$ は $${\hat{A}}$$ の固有状態にもなっていることが分かる. 結局 (5), (7) 式より,  $${\varphi_{ab}}$$ は $${\hat{A}}$$ と$${\hat{B}}$$ の同時固有関数になっている. 

2-2. 縮退がある場合

　$${b}$$ に対して, $${n}$$ 重に縮退している

$$
\tag{8} \hat{B}\varphi_{b,i}=b\varphi_{b,i}  (i=1, 2, …, n)
$$

とする. 

$$
\begin{equation*}
\begin{split} \therefore \hat{B}\hat{A}\varphi_{b,i} &=\hat{A}\hat{B}\varphi_{b,i}   (\because (4))\\
&=b\hat{A}\varphi_{b,i}.   (\because (8))
\end{split}
\end{equation*}
$$

よって, 同様に, $${\hat{A}\varphi_{b,i}}$$ は一般に $${n}$$ 個の線形結合重ね合わせとなり, 

$$
\tag{9} \hat{A}\varphi_{b,i}=\displaystyle\sum_{j=1}^nc_{ji}\varphi_{b,j}.
$$

(9) 式の両辺, 左から $${\varphi_{b,k}^*}$$ をかけて内積をとると, 

$$
\tag{10}
\begin{equation*}
\begin{split} \int d^3r\varphi_{b,k}^*\hat{A}\varphi_{b,i} &=\displaystyle\sum_{j=1}^nc_{ji}\int d^3r\varphi_{b,k}^*\varphi_{b,j}\\
&=c_{ki}.   (\because \int d^3r\varphi_{b,k}^*\varphi_{b,j}=\delta_{kj})
\end{split}
\end{equation*}
$$

※ δkjは, k=j のとき 1, k≠j のとき 0 になる. 「クロネッカーのデルタ」という.

ここで, $${c_{ki}^*}$$ について, 

$$
\begin{equation*}
\begin{split} c_{ki}^* &=\int d^3r(\hat{A}\varphi_{b,i})^*\varphi_{b,k}   (\because (10))\\
&=\int d^3r\varphi_{b,i}^*\hat{A}\varphi_{b,k}  (\because 物理量演算子は必ずエルミート演算子になるので, \hat{A}^\dag=\hat{A})\\
&=c_{ik}   (\because (10))
\end{split}
\end{equation*}
$$

より, $${C=(c_{ki})}$$ はエルミート行列である. よって, 適切なユニタリ行列 $${D=(d_{ki})}$$ で対角化できるので,

$$
D^\dag CD=\begin{pmatrix}
a_1 & && \\
 & a_2\\
&&\ddots\\
 &&&a_n
\end{pmatrix}
$$

$$
\tag{11}\iff(D^\dag CD)_{ki}=a_k\delta_{ki}.
$$

ちなみに $${a_k}$$ は行列 $${C}$$ の固有値である. ここで, 

$$
\tag{12}
\begin{equation*}
\begin{split} (CD)_{ki} &=(DD^\dag CD)_{ki}\\
&=\displaystyle\sum_{m=1}^nd_{km}(D^\dag CD)_{mi}   (\because (11) より, (D^\dag CD)_{mi}=a_m\delta _{mi})\\
&=d_{ki}a_i.
\end{split}
\end{equation*}
$$

故に, $${\varphi_{b,i}}$$ の, 行列 $${D}$$ による線型結合

$$
\tag{13}\bar{\varphi}_{b,i} \equiv \displaystyle\sum_{l=1}^nd_{li}\varphi_{b,l}
$$

を考えると, (13) 式に左から$${\hat{A}}$$ を作用させて, 

$$
\tag{14}
\begin{equation*}
\begin{split} \hat{A}\bar{\varphi}_{b,i} &= \displaystyle\sum_{l=1}^nd_{li}\hat{A}\varphi_{b,l}\\
&=\displaystyle\sum_{l=1}^nd_{li}\displaystyle\sum_{k=1}^nc_{kl}\varphi_{b,k}   (\because (9))\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^n\varphi_{b,k}\displaystyle\sum_{l=1}^nc_{kl}d_{li}\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^n\varphi_{b,k}(CD)_{ki}\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^n\varphi_{b,k}d_{ki}a_i   (\because (12))\\
&=a_i\displaystyle\sum_{k=1}^nd_{ki}\varphi_{b,k}\\
&=a_i\bar{\varphi}_{b,i}.   (\because (13))
\end{split}
\end{equation*}
$$

これは, $${\hat{B}}$$ の固有関数 $${\varphi_{b,i}}$$ の適切な線型結合 (13) で与えられる $${\bar{\varphi}_{b,i}}$$ が $${\hat{A}}$$ の固有関数であることを示している. したがって,  (8), (14) より, $${\varphi_{b,i}}$$ は$${\hat{A}}$$ と $${\hat{B}}$$ の同時固有関数になっている. $${\blacksquare}$$

文献

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[1] 猪木慶治, 河合光.『量子力学I』(1994, 講談社).