ラプラス変換公式を簡単に

こんにちは，いかすみです．今回はラプラス変換の公式について書きたいと思います．

ラプラス変換の公式は色々ありますが実はある1つを覚えると他の公式も簡単に導くことができます．

どうぞよろしくお願い致します．

※この記事はラプラス変換の知識があることを前提に書かれています．ご了承ください．

今回使う公式

早速その公式を紹介したいと思います．

はい，これです．この公式さえ覚えておけば大体の公式は導けます．

ここでαは複素数です．また，その次の条件はsがαの実部より大きいことを表しており，ラプラス変換の値が収束するために必要です．

（この公式の証明はラプラス変換の定義からすぐに求めることができます．また，今回sは実数を想定しています．）

以下から，上の公式から導くことができる公式をいくつか紹介します．

α = 0のとき

n = 0のとき

α = jωのとき

ここが一番の醍醐味なので丁寧に導出しようと思います．

また

以上より

途中の導出はオイラーの公式とラプラス変換の線形性を用いました．

ラプラス変換は積分計算なので線形性が保たれるのは納得していただけると思います．

ここでは導出を割愛しますが，このjωを使う発想を用いると以下の公式も同様の方法で導出できます．

終わりに

今回はラプラス変換公式のちょっとした覚え方を紹介しました．

三角関数の公式は丸暗記しようと思うと大変ですが，今回紹介した公式を使えば簡単に導くことができます（オイラーは偉大）．

ぜひ活用してみてください．

最後まで読んでいただきありがとうございました．