#複素解析
【複素解析】ゼータ正規化でsinが出るやつ
以前単純な場合でのゼータ正規化を求めた。
ここでは
$$
\prod_{n=-\infty}^{\infty} (n+a)=-2i\sin(\pi a)
$$
を求めていく。(参考文献:江口徹, 菅原裕二「共形場理論」)
ゼータ正規化ゼータ正規化は形式的には「総乗の中にゼータ関数を見出して置き換える」ことで行える。つまり
$$
\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \
【複素解析】純虚数を引数に持つガンマ関数の2乗
有名なはずなのに意外とネット上では見なかったので(全然ありそう)。実数$${x}$$に対して
$$
|\Gamma (ix)|^{2}=\frac{\pi}{x \sinh{ \pi x}}
$$
のように双曲線関数が出るというもの。
使うもの相反公式
$$
\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi }{\sin{\pi z}},\quad z\in \mathbb{C
【複素解析】自然数を全部かけたら√2π？？
こんな公式がある。
$$
1\times 2\times 3\times \cdots = \sqrt{2\pi}
$$
は？
$$
\prod_{n=1}^{\infty} \frac{c}{n}=\sqrt{\frac{1}{2\pi c}}
$$
えぇ……
これらは$${\zeta}$$関数正規化を行うことで正当化される。もちろん、通常の意味では当然発散するし、意味のない式である。