5匹のテントウムシが5秒間に5匹のアブラムシを食べつくすとき

今日は早速ですが問題です。

問題
5匹のテントウムシが5秒間に5匹のアブラムシを食べつくすとき、
100匹のアブラムシを100秒間で食べつくすためには何匹のテントウムシが必要でしょうか？

答えがパッと思い浮かびますか？
答えは下にスクロールすると現れます。
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解答と解説

解答
5匹のテントウムシが必要です。

さて、いかがだったでしょうか？この問題は3つの量（テントウムシの匹数、食べつくすまでの秒数、アブラムシの匹数）が絡み合っているので意外と考えるのが難しい問題です。何かうまい方法はないでしょうか？

この問題の数値に限っていえば、シンプルに次のような解説ができます。
「5匹のテントウムシでは5秒間に5匹のアブラムシを食べつくすのだから、同じ5匹のテントウムシが100秒間食べ続けたら100匹のアブラムシを食べることになる。つまり、テントウムシは5匹で十分である。」
ただ、これでは数値が変わったときに対応できません。

一般的解法

3つの量をいっぺんに考えると難しくなるので、そのうちの1つの量をfixして(固定して)他の2つの量が互いにどのような関係にあるのか調べてみることにしましょう。

（１）まず、テントウムシの匹数をfixして、食べつくす秒数とアブラムシの匹数の関係を調べます。

すると、食べつくす秒数が2倍、3倍、…になるとそれにつれてアブラムシの匹数も2倍、3倍、…となることがわかります。

すなわち秒数とアブラムシの匹数は比例の関係にあることがわかります。

（２）次に、食べつくす秒数をfixして、テントウムシの匹数とアブラムシの匹数の関係を調べます。

するとこれも、テントウムシの匹数が2倍、3倍、…になるとそれにつれてアブラムシの匹数も2倍、3倍、…となることがわかります。

すなわちテントウムシの匹数とアブラムシの匹数も比例の関係にあることがわかります。

（３）最後に、アブラムシの匹数をfixして、テントウムシの匹数と食べつくす秒数の関係を調べます。

すると今度は、テントウムシの匹数が2倍、3倍、…になるとそれにつれて食べつくす秒数は1/2倍、1/3倍、…になることがわかります。

すなわちテントウムシの匹数と食べつくす秒数は反比例の関係にあることがわかります。

以上のことから、テントウムシの匹数を$${a_1}$$および$${a_2}$$、食べつくす秒数を$${t_1}$$および$${t_2}$$、アブラムシの匹数を$${b_1}$$および$${b_2}$$としたとき次の式が成り立つことがわかります。

$$
a_1 t_1 / b_1 = a_2 t_2 / b_2
$$

試しに問題の数値をこの式に代入してみると

$$
(5 \times 5) /5 = (a_2 \times 100) / 100
$$

となり $${a_2=5}$$ となることがわかります。

まとめ

今回のようにたくさんの量が絡み合う問題は、そのうちのいくつかの量をfixして2つの量の関係のみに絞って考えると良いことがわかります。

この考え方は他の問題にも広く適用できるので覚えておくとよいでしょう。