ボームの量子論

ボームの量子論では、まず、波動関数$${\psi(x,t)}$$を次の形に置き換えます。

$${\psi = R \exp\left( -\frac{i}{\hbar}S\right)}$$

ここで、$${R}$$、$${S}$$はそれぞれ、波動関数の絶対値、位相です。これをシュレーディンガー方程式

$${i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(x,t)\right)\psi(x,t)}$$

に代入すると、次の２つの方程式が得られます。

$${\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla \cdot \frac{\rho\nabla S}{m}=0}$$   (1)

$${\frac{\partial S}{\partial t}+ \frac{(\nabla S)^2}{2m}+V+Q=0}$$   (2)

ここで、（１）式は連続の方程式を表し、$${\rho=R^2}$$です。また、（２）式はハミルトン-ヤコビの偏微分方程式です。（２）式に出てくる$${Q}$$は、量子力学的ポテンシャルといわれるもので、

$${Q=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\Delta^2 R}{R}}$$

という形で波動関数の絶対値を関係しています。

（２）式のハミルトン-ヤコビの偏微分方程式から、量子的粒子の運動量を次のように定義できます。

$${mv(t) = \nabla S}$$

これから、次の微分方程式を導くことができます。

$${dx(t) = v(t)dt = -\frac{\hbar}{2mi}\nabla \ln\left(\frac{\psi(x,t)}{\psi^{\star}(x,t)}\right)dt}$$

ボームの量子論は、古典力学のニュートンの運動方程式に量子力学的ポテンシャルを付加すれば、古典力学からおのずと量子力学が導き出せるとする理論というわけです。

ボームの主張は、未知の「隠れた変数」が存在し、それが量子的粒子に揺らぎをもたらすというものです。つまり、量子的な揺らぎは見かけのもので、本来はないというのです。