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オイラーの公式と戯れる

 オイラーの公式とは,複素数の範囲における指数関数について

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という等式が成り立つというものでした.

 虚数 i は 2 乗すると -1 となるような非実数でした.では,虚数の考え方を少し発展させて 2乗すると 1 になるような非実数 j に対して

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を考えるとどうなるでしょうか.

 今回は,2乗するとそれぞれ -1 , 0 , 1 となるような虚数 i , ε , j を実数に付け加えた数体系を考え,それぞれの数体系のオイラーの公式を考察します.これらには【複素数】【二重数】【分解型複素数】という名前がそれぞれついているものであり,幾何的な応用もなされているものです.

 このような数体系に対して e^(ξx) という形の数の幾何学的な意味を調べ,そのあと虚数の考え方をさらに一般化し,拡張されたオイラーの公式を導出します.

(注:本稿で登場する,

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などの関数の詳細は以下の記事に張り付けられたPDFの

 p15:ユークリッド距離における三角関数
 p22:ガリレオ距離における三角関数
 p24:双曲距離における三角関数

をご参照ください.)


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