統計検定準1級ワークブック どこまでやったの 第31章

統計検定準1級ワークブック（以下WB）の「第31章　ベイズ法」について、私がどこまで勉強をやったのかを書いていきます。

準1級は範囲が広いので、どの章をどの程度勉強したのかは気になるところだと思います。本記事が同資格を受験する方の参考の１つとなれば幸いです。

ベイズ法によるパラメータ推測

ここから統計検定準1級の最大の山場かもしれないベイズ法が始まります。これまでの統計の考え方の前提が崩れ、「θを単一の値と考えるのではなく」から始まります。

ベイズ法についてはまずは概要を理解することから始めました。いろいろ動画を見て回ってどれも有益だったのですが、ここでは「データサイエンス研究所」さんの動画を紹介します。

・【ベイズ統計学#1】ベイズ統計学の歴史と基本的な考え方
https://www.youtube.com/watch?v=yzuQAI7Rlvg

「第１章　事象と確率」で出てきたベイズの定理も使います。例1を解きながら以下を理解していきました。
・事後分布＝条件付き確率密度関数×事前分布（※周辺尤度は無視）
・求めた事後分布が、次の事前分布になる

例1ではベータ二項モデル$${Be(a,b)}$$が出てきます。ベータ分布については「第６章　連続型分布と標本分布」を確認しながら、最終的には以下をスラスラと書けるように反復しました。

$${f(θ|x)∝f(x|θ)f(θ)}$$
$${f(x|θ)=_nC_x・θ^x・(1-θ)^{n-x}}$$
$${f(x|θ)∝θ^x・(1-θ)^{n-x}}$$　※θに関係ないのは無視
$${f(θ)=\frac{1}{B(a,b)}・θ^{a-1}・(1-θ)^{b-1}}$$
$${f(θ)∝θ^{a-1}・(1-θ)^{b-1}}$$　※θに関係ないのは無視
$${B(a,b)=\int_{0}^{1}θ^{a-1}・(1-θ)^{b-1}dθ}$$

なお、数式の間に「・」を入れているのは見やすくするためです。

ベイズ法による点推定

ここはWB本文を読みながら例2と解きつつ、ベータ二項分布でいうと以下をスラスラと書けるように反復しました。

ベイズ推定量（期待値）：$${\frac{a}{a+b}}$$
MAP推定量：$${\frac{a-1}{a+b-2}}$$
分散：$${\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}}$$

ベイズ法による区間推定

ここはあまり理解できていません。確率変数θ自体が変動するので区間推定の範囲も変動するのかな、という程度でした。

事前分布

ここでは共役事前分布としてガンマ・ポアソンモデル$${Ga(α,\frac{1}{β})}$$が出てきます。ガンマ分布については「第６章　連続型分布と標本分布」を確認しながら、最終的には以下をスラスラと書けるように反復しました。

$${π(λ|x)∝π(x|λ)・π(λ)}$$
$${π(x|λ)=\prod_{n}^{i=1}\frac{λ^{x_i}・e^{-λ}}{x_i!}}$$
$${π(x|λ)∝\prod_{n}^{i=1}λ^{x_i}・e^{-λ}}$$　※λに関係ないのは無視
$${π(λ)=\frac{1}{Γ(α)}・β^α・λ^{α-1}・e^{-βλ}}$$
$${π(λ)∝λ^{α-1}・e^{-βλ}}$$　※λに関係ないのは無視
$${Γ(α)=\int_{0}^{∞}λ^{α-1}・e^{-λ}dλ}$$
$${\frac{Γ(α)}{β^α}=\int_{0}^{∞}λ^{α-1}・e^{-βλ}dλ}$$　※βを考慮

ベイズ推定量（期待値）：$${\frac{α}{β}}$$
MAP推定量：$${\frac{α-1}{β}}$$
分散：$${α・(\frac{1}{β})^2}$$

ガンマ分布を「$${Ga(α,β)}$$」と「$${Ga(α,\frac{1}{β})}$$」のどちらで覚えるかは、結構悩みました。最終的には覚えやすさとベイズ法との関連を優先しました。

ベイズ予測

ここは例題の問31.2を解きながら理解しました。

MHアルゴリズム、ギブス・サンプリング

ここは実際に手を動かして分析してない方にとっては理解が難しいところだと思います。私もいろいろ動画を見てみましたが、あまりしっくりきませんでした。

幸いにも？、例題の問31.3と問31.4に問題があるので解きながら理解しました。

WB本文と例題の関連性

関連性は高いと思います。例と合わせて一通りやれば、ベータ二項モデル、ガンマ・ポアソンモデル、MCMC法が理解できると思います。ベイズ推定を実務でガンガン使っている方からするとこんなの入口に過ぎないと言われそうな気がしないでもないですが。。

どこまでやったの？

どこまでやったの度：★★★
WB本文、例題ともに結構やりこみました。公式を覚えるまでは苦戦すると思いますが、概要を理解できてしまえば計算含めてそこまで難易度は高くはないのではと思います。

なお、以下にまとめ記事を書いております。こちらもお役に立てば幸いです。

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#統計検定準1級