【1分数学解説】「トレミーの定理」についての動画を作成しました。

久々に1分数学解説動画を投稿しました。

第3回は図形問題で役立つ「トレミーの定理」の紹介です。よければぜひご覧下さい。

練習問題解説

△ABDは正三角形だから、BD＝7
7×5＋7×3＝7 ×AC、AC＝8 …(答)

＜トレミーの定理を使わない場合の別解＞
△ABE∽△DCEより、AE:DE＝7:3＝49:21 …①、BE:CE＝7:3＝35:15 …②
また、△ADE∽△BCEより、AE:BE＝7:5＝49:35 …③
①、②、③よりAE:BE:CE:DE＝49:35:15:21、
AC:BD＝(49＋15):(35＋21)＝64:56＝8:7
よって、AC＝BD×8/7＝8 …(答)

他にもこの問題なら、∠ACD＝∠ABD＝60°となるので、
DからACに垂線を引いて三平方の定理を2回やるって流れでも解けます。

トレミーの定理の証明

(証明)
対角線BD上に、∠APD=∠ABCとなるように点 Pを取る。
△ABC∽△APDより、AC:AD＝BC:PD、AD×BC＝AC×PD …①
△ABP∽△ACDより、AB:AC＝BP:CD、AB×CD＝AC×BP …②
①＋②より、AB×CD＋AD×BC＝AC×BP＋AC×PD＝AC×(BP＋PD)＝AC×BD
(証明終わり)

他にも三角比を使った証明があります。色んな証明の仕方を身につけるとより理解が深まるので、ぜひ考えてみてください。

後語り

こういう公式とか定理って、必殺技感があって使いたくなりますよね。ただし、ちゃんと証明して、使える場面や仕組みを理解をしてから使いましょう。

ではでは～。