中学入試で使える倍数判定法

中学入試の算数の問題で、ある数が、3や9の倍数かどうかというのは良く使いますし、聞かれることもあります。

息子が受けた2022年の開成中でも、

1234567+2345671+3456712+4567123+5671234を計算した結果を9で割ったときの余りを求めよ。

という問題が出ました。

9の倍数判定法を使うと瞬殺できる問題でした。

難関中受験者は、1けたの数の倍数判定法は熟知していると思います。

7の倍数はちょっとマイナーですが…。

時々、11や13の倍数が問題となることもあります。

例えば、ある有名中で実際に出た問題。

問．11の倍数で5けたの数があり、各位の数字がどれも相異なるとき、最大の数はいくつか？

11の倍数判定法を知らないと解けないと思います。

別の有名中の問題。

問．2▢01▢5という6けたの数で、13の倍数はいくつあるか？
（▢の中には0から9までの数字が入る）

なかなか13の倍数判定法まではやらないと思います。

ここで考えるべきなのは、倍数判定法を多く覚えておくことではないと思います。

覚えてもその後使わないと忘れてしまうかもしれません。

なぜその方法で倍数を判定できるのか、その仕組みを理解することの方が大事です。

倍数の問題は、中学受験塾では、「数の性質」で小4くらいから出てくる単元です。

塾のテキストやプリントでは、「こうすると3の倍数かどうかわかります」と習います。

なぜそうなるのか、倍数判定の仕組みまで詳しく解説しないかもしれません。

その仕組みを理解できれば、マイナーな7や11や13の倍数でも判定が可能になります。

例えば、Aを百の位の数字、Bを十の位の数字、Cを一の位の数字として、ABCという3けたの数を考えてみます。

普段目にする数字は、10進法で書かれています。

10進法は、10ずつ位が上がっていくシステム。

1が10個で10、10が10個で100、…。

当たり前で不思議なことはありません。

ABCという数は、100がA個、10がB個、1がC個あることになります。

見方を変えると、Aが100個、Bが10個、Cが1個あるのと同じ。

Aを99個と1個、Bを9個と1個にわけることができます。

99や9は、明らかに9の倍数。

つまり、ABCという数は、9の倍数にAとBとCを足したものと考えることができます。

式で書くと、

ABC=100A+10B+C=9(11A+B)+A+B+C

だから、A+B+Cが9の倍数なら、ABCは9の倍数ということになります。

各位の数字が入れ替わって、BCAやCABになっても同じ。

A+B+Cを9で割った余りが1なら、ABCを9で割った余りも1になります。

もちろん、9は3の倍数なので、A+B+Cが3の倍数なら、ABCは3の倍数になるのは言うまでもありません。

3ケタで考えましたが、けたが大きくなっていっても同じです。

この原理を使えば、7や11や13の倍数判定もできます。

倍数判定法というと何やら複雑な感じがしますが、結局は位取り記数法の話に帰着します。