愛知教育大学2007年：線分の長さの和
問題
座標平面上に点A(1, 0) を固定し，点Ｐを直線 $${y=x+2}$$ 上に，点Qを円 $${x^2+y^2=1}$$ 上にそれぞれとる。このとき，線分の長さ AP+PQ の最小値と，そのときの点P, Qの座標を求めよ。
愛知教育大学2007年の問題です。図を描くとこのようになります。
「Ｑが円周上の点」でなければ，よくある「川に水を汲みに行く問題」です。
次の図の点Aに家があり，Bに畑がある。家を出て川（直線）で水を汲み畑に行く最短路を求める問題。
畑が川の対岸（川に関して対称な位置B’）にあるものとすると PB=PB' です。点B' とAを結ぶ経路は直線が最短なので，川との交点Ｐで水を汲めばよいことになります。
図にあるように，畑の対称点のかわりに，家の対称点をとっても同じことです。
この問題の応用が愛知教育大学の問題です。このような応用は，空間内の平面と2点でも入試問題として出されています。
さて，先ほどの川に水を汲みに行く問題では，Aの対称点をとってもBの対称点をとっても同じでした。
では，この問題ではどうでしょう。
Qの対称点をとる場合と，Aの対称点をとる場合の両方を考えてみましょう。
これが結構難しい。Aが固定された点であるのに対し，Qは円周上の任意の点なのです。Qの対称点をとると，Qを動かすたびにその点も動くので考えにくいでしょう。Aの対称点ならQが動いてもこの点は動かないので，A'Qだけを考えればよいことになります。
正解は $${\srqt{5}-1}$$ で，およそ 1.236 になるのですが，これを実際に点を動かしながら確かめてみましょう。
次のリンク先に，インタラクティブに動かせるものがあります。
始めは問題図。「補助図１」ボタンを押すとQの対称点，「補助図２」ボタンを押すとAの対称点が取られます。(図は「補助図2」を押したところ）
AP+PQの値が表示されるので，点QとPを動かして，最小になる位置を探すわけです。
※ 図はCinderella（CindyJS）で作成しています。