![見出し画像](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/69655288/rectangle_large_type_2_9f4c92a298dd8b242e2831c19d8274d4.png?width=1200)
愛知教育大学2007年:線分の長さの和
問題
座標平面上に点A(1, 0) を固定し,点Pを直線 $${y=x+2}$$ 上に,点Qを円 $${x^2+y^2=1}$$ 上にそれぞれとる。このとき,線分の長さ AP+PQ の最小値と,そのときの点P, Qの座標を求めよ。
愛知教育大学2007年の問題です。図を描くとこのようになります。
![画像6](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/69655296/picture_pc_884dd7e95e8cab2ca401e6acc6abfbb0.png?width=1200)
「Qが円周上の点」でなければ,よくある「川に水を汲みに行く問題」です。
次の図の点Aに家があり,Bに畑がある。家を出て川(直線)で水を汲み畑に行く最短路を求める問題。
![画像1](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/69605386/picture_pc_6c78f8b036a87ef300f9b26ecf1b976e.png?width=1200)
畑が川の対岸(川に関して対称な位置B’)にあるものとすると PB=PB' です。点B' とAを結ぶ経路は直線が最短なので,川との交点Pで水を汲めばよいことになります。
![画像2](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/69605505/picture_pc_649a3b07e19d42300a685c797eee9591.png?width=1200)
図にあるように,畑の対称点のかわりに,家の対称点をとっても同じことです。
この問題の応用が愛知教育大学の問題です。このような応用は,空間内の平面と2点でも入試問題として出されています。
さて,先ほどの川に水を汲みに行く問題では,Aの対称点をとってもBの対称点をとっても同じでした。
では,この問題ではどうでしょう。
![画像6](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/69655307/picture_pc_f68b5a85c680542f149f095c17481e7c.png?width=1200)
Qの対称点をとる場合と,Aの対称点をとる場合の両方を考えてみましょう。
![画像6](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/69655318/picture_pc_dd0c03df257df6a110149d8b2b8c9d32.png?width=1200)
これが結構難しい。Aが固定された点であるのに対し,Qは円周上の任意の点なのです。Qの対称点をとると,Qを動かすたびにその点も動くので考えにくいでしょう。Aの対称点ならQが動いてもこの点は動かないので,A'Qだけを考えればよいことになります。
正解は $${\srqt{5}-1}$$ で,およそ 1.236 になるのですが,これを実際に点を動かしながら確かめてみましょう。
次のリンク先に,インタラクティブに動かせるものがあります。
始めは問題図。「補助図1」ボタンを押すとQの対称点,「補助図2」ボタンを押すとAの対称点が取られます。(図は「補助図2」を押したところ)
![画像6](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/69655348/picture_pc_135cf3d8630b11ed67316857cc42c4f1.png?width=1200)
AP+PQの値が表示されるので,点QとPを動かして,最小になる位置を探すわけです。
※ 図はCinderella(CindyJS)で作成しています。